Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.3
प्रश्न 1.
x = 10 पर x² – 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ पर f(x) = x² – 2
हम जानते हैं कि
प्रश्न 2.
x = 50 पर 49x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
∵ f(x) = 49x
प्रश्न 3.
प्रथम सिद्धान्त से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए
हल-
(i) माना कि f(x) = x³ – 16
(ii) माना कि f (x) = (x – 1) (x – 2)
= x² – 2x – x + 2
= x² – 3x + 2
(iii) माना कि
(iv) माना कि
प्रश्न 4.
फलन
के लिए सिद्ध कीजिए कि
f’ (1) = 100 f'(0).
हल-
दिया गया है
∴ f'(1) = 1 + 1 + ….. + 1 + 1 = 100
∵ 100 पद है।
या f'(1) = 100 x 1 = 100 f’ (0) ∵ f'(0) = 1
अतः f'(1) = 100 f'(0) इतिसिद्धम्।
प्रश्न 5.
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए
का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि
प्रश्न 6.
किन्हीं अचरों a और b के लिए,
(i) (x – a) (x – b)
(ii) (ax² + b)²
(iii) \(\frac { x-a }{ x-b }\) के अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) माना कि f(x) = (x – a) (x – b)
गुणन नियम का प्रयोग करने पर
= (x – a) [1 – 0] + (x – b) [1 – 0]
= (x – a) + (x – b)
= 2x – a – b
(ii) माना कि f(x) = (ax² + b)²
= (ax² + b) (2ax) + (ax² + b) (2ax)
= 4ax (ax² + b)
(iii) माना कि f(x) = \(\frac { x-a }{ x-b }\)
भागफल नियम का प्रयोग करने
प्रश्न 7.
किसी अचर a के लिए
का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि
भागफल नियम का प्रयोग करने पर
प्रश्न 8.
निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) 2x – \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(ii) (5x³ + 3x – 1) (x – 1)
(iii) x5 (3 – 6x-9)
(iv) x-4 (3 – 4x-5)
(v) \(\frac { 2 }{ x+1 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 3x-1 } \)
हल-
(i) माना कि
(ii) माना कि f(x) = (5x3 + 3x – 1) (x – 1)
= (x – 1) [15x² + 3] + (5x³ + 3x – 1)
= 15x³ + 3x – 15x² – 3 + 5x³ + 3x – 1
= 20x3 – 15x² + 6x – 4
(iii) माना कि
(iv) माना कि
(v) माना कि
प्रश्न 9.
प्रथम सिद्धान्त से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि f (x) = cos x
= – sin x . 1
= – sin x
प्रश्न 10.
निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) sin x cos x
(ii) sec x
(iii) cosec x
(iv) 3 cot x + 5 cosec x
(vi) 5 sin x – 6 cos x + 7
हल-
(i) माना कि f(x) = sin x cos x
गुणन नियम का प्रयोग करने पर
= sin x (-sin x) + cos x (cos x)
= – sin² x + cos² x
= cos²x – sin²x
= cos 2x
(ii) माना कि f(x) = sec x
= sec x. tan x
(iii) माना कि f(x) = cosec x
= – cosec x . cot x
(iv) माना कि f(x) = 3 cot x + 5 cosec x
= – 3 cosec²x – 5 cosec x cot x
(v) माना कि f(x) = 5 sin x – 6 cos x + 7
= 5 cos x – 6 (- sin x) + 0
= 5 cos x + 6 sin x