Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.1
प्रश्न 1.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के समान्तर है तथा
(i) मूल बिन्दु से ऊपर की ओर 5 इकाई की दूरी पर है।
(ii) मूल बिन्दु से नीचे की ओर 3 इकाई दूरी पर है।
हल-
(i) रेखा x-अक्ष के समान्तर है तथा मूल बिन्दु से ऊपर की ओर 5 इकाई दूरी पर है अतः अभीष्ट समीकरण y = 5
(ii) रेखा x-अक्ष के समान्तर है तथा मूल बिन्दु से नीचे की ओर 3 इकाई दूरी पर है अतः अभीष्ट समीकरण y = -3
प्रश्न 2.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के समान्तरे हैं और इससे
(i) a + b
(ii) a² – b²
(iii) b cos θ दूरी पर स्थित है।
हल-
x-अक्ष के समान्तर और मूल बिन्दु से c दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण
y = c
तब,
(i) जब c = a + b, तब रेखा का समीकरण y = a + b
(ii) जब c = a² – b², तब रेखा का समीकरण y = a² – b²
(iii) जब c = b cos θ, तब रेखा का समीकरण y = c cos θ
प्रश्न 3.
y-अक्ष के समान्तर उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से क्रमशः।
(i) 5
(ii) -3
(iii) \(\frac { 2 }{ 5 }\) इकाई दूरी पर हैं।
हल-
y-अक्ष के समान्तर और मूल बिन्दु से या y-अक्ष से c दूरी पर रेखा का समीकरण
x = c
(i) जब c = 5, तब रेखा का समीकरण x = 5
(ii) जब c = -3, तब रेखा का समीकरण x = -3
(ii) जब c = \(\frac { 2 }{ 5 }\), तब रेखा का समीकरण x = \(\frac { 2 }{ 5 }\)
प्रश्न 4.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष के समान्तर है तथा उनसे
(i) √7
(ii) -√3+2
(iii) p + q की दूरी पर स्थित है।
हल-
y-अक्ष के समान्तर और मूल बिन्दु यो y-अक्ष से c दूरी पर रेखा का समीकरण
x = c
(i) जब c = √7 तब रेखा का समीकरण x = √7
(ii) जब c = -√3+2, तब रेखा का समीकरण x = -√3+2
(iii) जब c = p + q, तब रेखा का समीकरण x = p + q
प्रश्न 5.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3, 2) से होकर जाती है तथा क्रमशः x-अक्ष के लम्बवत् एवं भू-अक्ष के समान्तर है।
हल-
बिन्दु (-3, 2) से जाने वाली एवं x-अक्ष के लम्बवत् अर्थात् y-अक्ष के समान्तर रेखा (l1) को समीकरण
x = -3
या x + 3 = 0
(-3, 2) से जाने वाली एवं x-अक्ष के समान्तर रेखा (l2) का समीकरण
y = 2
प्रश्न 6.
बिन्दु (3, 4) से होकर जाने वाली अक्षों के समान्तर रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए। इन रेखाओं से 8 इकाई की दूरी पर और इनके समान्तर रेखाओं के समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल-
बिन्दु (3, 4) से होकर जाने वाली तथा x-अक्ष के समान्तर रेखा (l1), x-अक्ष से 4 इकाई दूरी पर है अतः इसका समीकरण y = 4 ….(1)
बिन्दु (3, 4) से होकर जाने वाली तथा y-अक्ष के समान्तर रेखा (l2), y-अक्ष से 3 इकाई दूरी पर है, अतः इसका समीकरण x = 3 ….(2)
अब रेखा (1) से 8 इकाई की दूरी पर एवं इसके समान्तर रेखाओं के समीकरण
y = 4 ± 8
या y = 4 + 8 तथा y = 4 – 8 = – 4
या y = 12 तथा y + 4 = 0
इसी प्रकार रेखा (2) से 8 इकाई दूरी पर एवं इसके समान्तर रेखाओं के समीकरण
x = 3 ± 8
या x = 3 + 8 तथा x = 3 – 8
या x = 11 तथा x = – 5
या x = 11 तथा x + 5 = 0
प्रश्न 7.
x = ±4, और y = ±3 के प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक लिखिए और उनसे निर्मित आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल-
x = ±4 तथा y = ±3 रेखाएँ क्रमशः y-अक्ष एवं x-अक्ष के समान्तर रेखाएँ हैं। इनके प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक (4, 3), (4, -3), (-4, 3) और (-4, -3) हैं।
जिनसे एक आयत का निर्माण होता है जिसकी लम्बाई = 2 x 4 = 8 इकाई एवं चौड़ाई = 2 x 3 = 6 इकाई है।
तब अभीष्ट क्षेत्रफल = 8 x 6 = 48 वर्ग इकाई
प्रश्न 8.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से होकर जाती है तथा
(i) x-अक्ष से -135° का कोण बनाती है।
(ii) प्रथम चतुर्थांश में OY से 60° का कोण बनाती है।
(ii) y-अक्ष की धनदिशा से 5 इकाई के बराबर अन्त:खण्ड काटती है और कोण XOY के समद्विभाजक के समान्तर है।
हल-
(i) मूल बिन्दु से होकर जाने वाली तथा x-अक्ष से -135° कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण
y = mx [∵ c = 0]
y = tan (-135°)x
y = – tan(135°)x
y = -(-1)x
y = x
x – y = 0
(ii) प्रथम चतुर्थांश में OY से 60° का कोण बनाने वाली रेखा OX से 30° का कोण बनाती है ।
तब रेखा की प्रवणता (m) = tan
30° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
तब मूल बिन्दु से जाने वाली एवं प्रवणता \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) वाली रेखा का समीकरण
y = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } x\) (y = mx)
या √3y = x
या x – √3y = 0
(iii) y-अक्ष की धनदिशा में 5 इकाई के बराबर अन्त:खण्ड काटने वाली रेखा के लिए c = 5 कोण XOY की समद्विभाजक रेखा द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण = 45°
तब कोण XOY के समान्तर रेखा की प्रवणता = tan 45° = 1 अभीष्ट समीकरण
y = mx + c = (1)x + 5
या x – y + 5 = 0
प्रश्न 9.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष तथा y-अक्ष पर निम्नलिखित अन्त:खण्ड काटती है-
(i) 5, 3
(ii) -2, 3
हल-
(i) अन्त:खण्ड रूप में रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
यहाँ a = 5, b = 3 है, तब अभीष्ट समीकरण
या 3x + 5y = 15
(ii) जब a = -2, b = 3
⇒ 2y – 3x = 6
⇒ 3x – 2y + 6 = 0
प्रश्न 10.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 3) से गुजरती है तथा अक्षों पर बराबर अन्त:खण्ड काटती है।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
जब a = b अर्थात् अक्षों पर काटे गये अन्त:खण्ड बराबर हों तो
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ a } =1\)
या x + y = a …(1)
अब यदि रेखा (2, 3) से गुजरती हो तो यह बिन्दु रेखा के समीकरण को सन्तुष्ट करेगा। अतः
2 + 3 = a
या a = 5 ….(2)
समीकरण (1) व (2) से सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण
x + y = 5
प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2) से होकर जाती है तथा रेखा द्वारा x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड y-अक्ष पर काटे गये अन्त:खण्ड को दुगुना है।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
प्रश्नानुसार, x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड = 2 x y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड
⇒ a = 2b ….(2)
समीकरण (1) व (2) से
\(\frac { x }{ 2b } +\frac { y }{ b } =1\)
या \(\frac { x+2y }{ 2b }=1\)
या x + 2y = 2b ….(3)
सरल रेखा बिन्दु (1, 2) से होकर जाती है अतः यह बिन्दु सरल रेखा के समीकरण (3) को सन्तुष्ट करेगा।
(1) + 2(2) = 2b
या 2b = 5
या \(b=\frac { 5 }{ 2 }\) ….(4)
समीकरण (3) व (4) से हमें सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है
x + 2y = 5
प्रश्न 12.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3, -5) से होकर जाती है तथा दोनों अक्षों के मध्य, रेखा का कटा हुआ अन्त:खण्ड इस बिन्दु पर समद्विभाजित करता है।
हल-
सरल रेखा का अन्त:खण्ड रूप में समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
तब x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड a एवं y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड b है। चित्रानुसार अक्षों के मध्य कटा हुआ अन्त:खण्ड AB है। इस AB का मध्य बिन्दु यदि (-3, -5) है तब
या \(\frac { a }{ 2 }\) = – 3, \(\frac { b }{ 2 }\) = – 5
या a = – 6, b = – 10
समी. (1) में a व b के मान रखने पर
या 5x + 3y = -30
या 5x + 3y + 30 = 0
अतः सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण 5x + 3y + 30 = 0 होगा।
प्रश्न 13.
ऐसी दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4,-3) से होकर जाती है तथा अक्षों से काटे हुए अन्त:खण्डों का योग 5 इकाई है।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
यदि सरल रेखा (1) बिन्दु (4,-3) से होकर जाती है तब यह बिन्दु समीकरण (1) को सन्तुष्ट करेगा।
\(\frac { 4 }{ a } +\frac { (-3) }{ b } =1\)
या 4b – 3a = ab ….(2)
पुनः प्रश्नानुसार अक्षों पर काटे हुए अन्त:खण्डों का योग 5 इकाई है तब
a + b = 5 ….(3)
समीकरण (3) से b = 5 – a, समीकरण (2) में रखने पर
⇒ 4(5 – a) – 3a = a(5 – a)
⇒ 20 – 4a – 3a = 5a – a²
⇒ 20 – 7a = 5a – a²
⇒ a² – 7a – 5a + 20 = 0
⇒ a² – 12a + 20 = 0
⇒ a² – 10a – 2a + 20 = 0
⇒ a(a – 10) + 2(a – 10) = 0
⇒ (a – 10) (a – 2) = 0
⇒ a = 10, 2
जब a = 10, तब b = 5 – 10 = – 5
जब a = 2, तब b = 5 – 2 – 3
अतः सरल रेखाओं के अभीष्ट समीकरण
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि उस सरल रेखा का समीकरण जिसके अक्षों पर अन्त:खण्डों के व्युत्क्रम a और b हैं, ax + by = 1 है।
हल-
दिया है कि सरल रेखा द्वारा अक्षों पर काटे गए अन्त:खण्डों के व्युत्क्रम a व b हैं, अर्थात् यदि सरल रेखा द्वारा अक्षों पर काटे गए अन्त:खण्ड A व B हैं तब
A = \(\frac { 1 }{ a }\) एवं B = \(\frac { 1 }{ b }\)
तब अन्त:खण्ड रूप में रेखा की समीकरण
या ax + by = 1 इतिसिद्धम्।
प्रश्न 15.
एक सरल रेखा अक्षों से क्रमशः 5 और 3 इकाइयों का अन्त:खण्ड काटती है । इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जब कि अन्त:खण्ड :
(i) अक्षों की धन दिशा में हो।
(ii) अक्षों की ऋण दिशा में हो।
(iii) पहला अन्त:खण्ड धन दिशा में और दूसरा ऋण दिशा में हो ।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
(i) अक्षों की धन दिशा में क्रमशः 5 व 3 इकाइयों के अन्त:खण्ड हों तब
a = 5 व b = 3
अतः अभीष्ट समीकरण
\(\frac { x }{ 5 } +\frac { y }{ 3 } =1\)
या 3x + 5y = 15
या 3x + 5y – 15 = 0
(ii) अक्षों की ऋण दिशा में क्रमशः 5 व 3 इकाइयों के अन्त:खण्ड हैं। तब
a = – 5 व b = – 3
अतः अभीष्टे समीकरण
या 3x + 3y = – 15
या 3x + 5y + 15 = 0
(iii) पहला अन्त:खण्ड धन दिशा में 5 इकाई व दूसरा अन्त:खण्ड ऋण दिशा में 3 इकाई है तब
a = 5 व b = -3
अतः अभीष्ट समीकरण
या 3x – 5y = 15
या 3x – 5y – 15 = 0
प्रश्न 16.
एक सरल रेखा पर मूल बिन्दु से डाला गया लम्ब y-अक्ष से 30° का कोण बनाता है तथा उसकी लम्बाई 2 इकाई है। इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
अभिलम्ब रूप (Normal Form) में सरल रेखा का समीकरण
x cos α + y sin α = p
यहाँ α = मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गये लम्ब द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण
p = मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई
दिया है p = 2
α = 90° – 30° = 60°
अतः अभीष्ट समीकरण
या x + y√3 = 4
या x + √3y – 4 = 0
प्रश्न 17.
रेखा x sin α + y cos α = sin 2α के उस भाग की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो अक्षों के मध्य में काटता है। इस भाग के मध्य बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया रेखा का समीकरण
x sin α + y cos α = sin 2α
अतः x-अक्ष पर रेखा द्वारा काटा गया अन्त:खण्ड = 2 cos α y-अक्ष पर रेखा द्वारा काटा गया अन्त:खण्ड = 2 sin α
अतः रेखा द्वारा अक्षों के मध्य काटे गये अन्त:खण्ड AB के सिरों A व B के निर्देशांक क्रमशः (2 cos α, 0) एवं (0,2 sin α) हैं। अतः AB की लम्बाई
इस मध्य भाग AB के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
प्रश्न 18.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए p = 3 तथा cos α = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) जहाँ p मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गये लम्ब की लम्बाई तथा α इस लम्ब द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण है।
हल-
⇒ √3x + y = 6 तथा √3 – y = 6