Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.1
प्रश्न 1.
उस वृत्त का संमीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका
(i) केन्द्र (-2, 3) तथा त्रिज्या 4 हो।
(ii) केन्द्र (a, b) तथा त्रिज्या a – b हो।
हल-
यदि किसी वृत्त का केन्द्र (h, k) तथा त्रिज्या r हो तो उस वृत्त का समीकरण होगा।
(x – h)² + (y – k)² = r²
(i) यहाँ h = – 2, k = 3 तथा r = 4
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
{x – (-2)}² + (y – 3)² = 4²
(x + 2)² + (y – 3)² = 16
x² + 4 + 4x + y² + 9 – 16y = 16
x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0
(ii) यहाँ h = a, k = b तथा r = a – b
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
(x – a)² + (y – b)² = (a – b)²
x² + a² – 2ax + y² + b² – 2by = a² + b² – 2ab
x² + y² – 2ax – 2by + 2ab = 0
प्रश्न 2.
निम्न वृत्तों के केन्द्र के निर्देशांक तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए-
(i) x(x + y – 6) = (x – y + 8)
(ii) \(\sqrt { 1+{ k }^{ 2 } } \)(x² + y²) = 2ax + 2aky
(iii) 4(x² + y²) = 1
हल-
वृत्त का व्यापक समीकरण
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
यहाँ वृत्त का केन्द्र = (-g, -f)
वृत्त की क्रिया = \(\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } \)
(i) वृत्त का दिया गया समीकरण,
x(x + y – 6) = y(x – y + 8)
x² + xy – 6x = xy – y² + 8y
x² + y² – 6x – 8y = 0
(ii) वृत्त को दिया गया समीकरण
= a
(iii) दिया गया वृत्त का समीकरण
4(x² + y²) = 1
वृत्त जिसका केन्द्र (0, 0) व त्रिज्या r हो तो उसका समीकरण x² + y² = r² होता है। अतः अभीष्ट केन्द्र = (0, 0) तथा क्रिज्या = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
प्रश्न 3.
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष को स्पर्श करे तथा x-अक्ष पर 2l लम्बाई का अन्त:खण्ड काटे ।
हल-
माना अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या r है तब चित्रानुसार y-अक्ष को स्पर्श करने वाले तथा x-अक्ष पर 2l लम्बाई का अन्त:खण्ड काटने वाले वृत्त के केन्द्र के
प्रश्न 4.
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो x-अक्ष को मूल बिन्दु से +3 दूरी पर स्पर्श करता है तथा y-अक्ष पर 6 इकाई लम्बाई का अन्त:खण्ड काटता है।
हल-
अभीष्ट वृत्त मूल बिन्दु से +3 दूरी पर स्पर्श करता है तब ऐसे दो वृत्त होंगे जो y-अक्ष पर 6 लम्बाई का अन्त:खण्ड काटें। वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्बे जीवा को समद्विभाजित करता है अतः चित्रानुसार
AD² = AC² + CD²
AD² = 3² + 3² = 2 x 3²
AD = ±3√2
अतः वृत्त की त्रिज्या = 3√2 एवं वृत्त के केन्द्र = (3,3√2) व (3,-3√2)
प्रश्न 5.
वृत्त x² + y² – 8x + 10y – 12 = 0 का केन्द्र एवं त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए गए समीकरण के अनुसार
x² + y² – 8x + 10y – 12 = 0
या (x² – 8x) + (y² + 10y) = 12
या (x² – 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = 12 + 16 + 25
या (x – 4)² + (y + 5)² = 53
इसकी तुलना (x – h)² + (y – k)² = r² से करने पर
h = 4, k = – 5 तथा त्रिज्या r = √53
अतः वृत्त का केन्द्र (4, – 5) तथा त्रिज्या r = √53
प्रश्न 6.
वृत्त 2x² + 2y² – x = 0 का केन्द्र एवं क्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए गए समीकरण के अनुसार
2x² + 2y² – x = 0
या x² + y² – \(\frac { x }{ 2 }\) = 0
प्रश्न 7.
बिन्दुओं (2, 3) और (- 1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है।
हल-
माना कि वृत्त का समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² है।
अतः बिन्दु (2, 3) तथा (-1, 1) से गुजरने वाले वृत्तों के समीकरण ।
(2 – h)² + (3 – k)² = r² …..(1)
तथा (-1 – h)² + (1 – k)² = r²…..(2)
क्योंकि इन वृत्तों का केन्द्र रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है।
अतः
h – 3k = 11 …..(3)
समीकरण (1) को हल करने पर (2 – h)² + (3 – k)² = r²
या 4 – 4h + h² + 9 – 6k + k² = r²
या 13 – 4h + h² – 6k + k² = r² …..(4)
समीकरण (2) को हल करने पर (- 1 – h)² + (1 – k)² = r²
या 1 + 2h + h² + 1 – 2k + k² = r²
या 2 + 2h + h² – 2k + k² = r² …..(5)
समीकरण (4) व (5) से
13 – 4h + h² – 6k + k² = 2 + 2h + h² – 2k + k²
या 13 – 2 – 4h – 2h + h² – h² – 6k + 2k + k² – k² = 0
या 11 – 6h – 4k = 0
या 6h + 4k = 11 …..(6)
समीकरण (3) व (6) से अर्थात् h – 3k = 11
6h + 4k = 11
समीकरण (3) में 4 का व (6) में 3 का गुणा करने पर
h का यह मान समीकरण (6) में रखने पर ।
k व h के ये मान समीकरण (1) में रखने पर
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
या x² – 7x + y² + 5y = \(\frac { 56 }{ 4 }\)
या x² + y² – 7x + 5y – 14 = 0
प्रश्न 8.
त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र x अक्ष पर हो और जो बिन्दु (2, 3) से जाता है।
हल-
माना कि वृत्त का समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r है।
प्रश्नानुसार वृत्त बिन्दु (2, 3) से जाता है तथा इसकी त्रिज्या 5 है। अर्थात्
(2 – h)² + (3 – k)² = 25
या 4 – 4h + h² + 9 – 6k + k² = 25
या – 12 – 4h + h² – 6k + k² = 0 …..(1)
∵ इस वृत्त का केन्द्र भी x-अक्ष पर है ∴ k = 0 …..(2)
k का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
– 12 – 4h + h² = 0
या h² – 4h – 12 = 0
या h² – 6h + 2h – 12 = 0
या h (h – 6) + 2 (h – 6) = 0
या (h – 6) (h + 2) = 0
∴ h = 6, – 2
अब समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² में h = 6, k = 0 तथा r = 5 रखने पर
(x – 6)² + (y – 0)² = 25
या x² – 12x + 36 + y² = 25
या x² + y² – 12x + 11 = 0
पुनः समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² में h = – 2, k = 0 तथा r = 5 रखने पर।
(x + 2)² + (y – 0)² = 25
या x² + 4x + 4 + y² = 25
या x² + y ²+ 4x – 21 = 0
प्रश्न 9.
(0, 0) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों पर a और b अंत:खण्ड बनाता है।
हल-
प्रश्नानुसार वृत्त मूलबिन्दु (0, 0) से होकर जाता है तथा निर्देशांकों पर a और b अंत:खण्ड बनाता है।
∴ OA = a
∴ A के निर्देशांक = (a, 0)
तथा OB = b
∴ B के निर्देशांक = (0, b)
∴ x² + y² – ax – by = 0
यही वृत्त का अभीष्ट समीकरण है।