Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.2
प्रश्न 1.
वृत्त x² + y² = 25 तथा रेखा 4x + 3y = 12 के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए तथा प्रतिच्छेद जीवा की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।
हल-
दिये गये वृत्त का समीकरण
x² + y² = 25 ….(1)
रेखा का समीकरण
4x + 3y = 12
3y = 12 – 4x
\(y=\frac { 12-4x }{ 3 }\) ….(2)
y का मान समीकरण (1) में रखने पर
⇒ 9x² + (12 – 4x)² = 225
⇒ 9x² + 144 – 96x + 16x² = 225
⇒ 25x² – 96x = 225 – 144
⇒ 25x² – 96x = 81
⇒ 25x² – 96x – 81 = 0
प्रश्न 2.
यदि वृत्त x² + y² = a² सरल रेखा y = mx + c पर 2l लम्बाई का अन्त:खण्ड काटता हो, तो सिद्ध कीजिए–
c² = (1 + m²)(a² – l²)
हल-
हम जानते हैं कि जीवा के अन्त:खण्ड की लम्बाई
l²(1 + m²) = a²(1 + m) – c²
c² = a²(1 + m²) – l²(1 + m²)
c² = (1 + m²)(a² – l²)
इतिसिद्धम्
प्रश्न 3.
वृत्त x² + y² = c² द्वारा रेखा \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) पर काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि वृत्त एवं रेखा के प्रतिच्छेद बिन्दु P तथा Q हैं।
OM = बिन्दु O(0, 0) से रेखा \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) लम्ब की लम्बाई
प्रश्न 4.
k के किस मान के लिए रेखा 3x + 4y = k वृत्त x² + y² = 10x को स्पर्श करती है।
हल-
दिये गये वृत्त के समीकरण से-
x² + y² – 10x = 0
केन्द्र (5, 0)
वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखा पर डाला गया लम्ब वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगा।
स्पर्श रेखा का समीकरण-
3x + 4y – k = 0
15 – k = ±25
धनात्मक चिह्न लेने पर
15 – k = 25
15 – 25 = k
∴ k = -10
ऋणात्मक चिह्न लेने पर
15 – k = – 25
15 + 25 = k
∴ k = 40
प्रश्न 5.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जब-
(i) रेखा y = mx + c वृत्त (x – a)² + (y – b)² = r² को स्पर्श करे।
(ii) रेखा lx + my + n = 0 वृत्त x² + y² = a² को स्पर्श करे।।
हल-
(i) सरल रेखा वृत्त को स्पर्श करेगी यदि केन्द्र से रेखा पर लम्ब = वृत्त की त्रिज्या
यहाँ (a, b) वृत्त का केन्द्र तथा r त्रिज्या है।
वर्ग करने पर-
(b – am – c)² = r²(1 + m²)
(b – c – am)² = r² + r²m²
(b – c)² – 2a(b – c)m + a²m² = r² + r²m²
m²(a² – r²) – 2am(b – c) + (b – c)² = y
(ii) रेखा lx + my + n = 0 वृत्त x² + y² = a को स्पर्श करे।
स्पर्श करने का प्रतिबन्ध
c² = a²(1 + m²) ….(i)
रेखा के समीकरण से
lx + my = -n
my = – lx – n
n² = a²(m² + l²)
प्रश्न 6.
(i) वृत्त x² + y² = 64 की उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4, 7) से गुजरती है।
(ii) वृत्त x² + y² = 4 की उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष से 60° का कोण बनाती है।
हल-
(i) बिन्दु (4, 7) से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण
(y – y1) = m(x – x1)
(y – 7) = m(x – 4)
y – 7 = mx – 4m
mx – y – 4m + 7 = 0
समी. (1) की रेखा वृत्त x² + y² = 64 को स्पर्श करती है। इसलिए वृत्त के केन्द्र (0, 0) से स्पर्श रेखा पर डाला गया लम्ब वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगा
⇒ (7 – 4m)² = 64(m² + 1)
⇒ 49 – 56m + 16m² = 64m² + 64
⇒ 64m² + 64 – 49 + 56m – 16m² = 0
⇒ 48m² + 56m + 15 = 0
⇒ 48m² + 36m + 20m + 15 = 0
⇒ 12m(4m + 3) + 5(4m + 3) = 0
⇒ (12m + 5)(4m + 3)= 0
यदि 12m + 5 = 0
∴ \(m=\frac { -5 }{ 12 }\)
या 4m + 3= 0
⇒ \(m=\frac { -3 }{ 4 }\)
समीकरण (1) में मान \(m=\frac { -5 }{ 12 }\) रखने पर
– 5x – 12y + 20 + 84 = 0
– 5x – 12 + 104 = 0
5x + 12y – 104 = 0
समीकरण (1) में \(m=\frac { -3 }{ 4 }\) रखने पर
mx – y – 4m + 7 = 0
– 3x – 4y + 40 = 0
3x + 4y – 40 = 0
(ii) स्पर्श रेखा का समीकरण ढाल के रूप में
प्रश्न 7.
c का मान ज्ञात कीजिए कि रेखा y = c वृत्त x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0 के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा हो।
हल-
स्पर्श रेखा का समीकरण
xx1 + yy1 + g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0
x × 1 + y × 1 – 1(x + 1) + 1(y + 1) – 2 = 0
x + y – x – 1 + y + 1 – 2 = 0
2y – 2 = 0
y = 1….(1)
दी गई स्पर्श रेखा
y = c ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) की तुलना करने पर
c = 1
प्रश्न 8.
वृत्त x² + y² = 169 के बिन्दुओं (5, 12) तथा (12, -5) पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर लम्बवत् होंगी। इनके प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी
ज्ञात कीजिए।
हल-
x² + y² = 169 ….(1)
बिन्दु (5, 12) पर वृत्त (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण
5x + 12y = 169 ….(2)
बिन्दु (12, -5) पर वृत्त (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण
12x – 5y = 169 ….(3)
रेखा (2) का ढाल = \(\frac { -5 }{ 12 }\) = m1
रेखा (3) का ढाल = \(\frac { 12 }{ 5 }\) = m2
चूँकि m1m2 = – 1
अतः रेखा (2) तथा (3) एक-दूसरे को समकोण पर काटती
समीकरण (2) तथा (3) को हल करने पर
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक–(17, 7)