Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5
प्रश्न 1.
उस दीर्घवृत्त की समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) नाभि (-1, 1), नियती x – y + 4 = 0 तथा उत्केन्द्रता e = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \) हो ।
(ii) नाभि (-2, 3), नियता 3x + 4y = 1 तथा उत्केन्द्रता e = \(\frac { 1 }{ 3 }\) हो ।
हल-
(i) माना कि दोवृत्त पर कोई बिन्दु P(h, k) है तब परिभाषानुसार
P की नाभि से दूरी = e (P की नियता से दूरी)
PS = e(PM)
PS² = e²(PM)²
10(h² + k² + 2h – 2k + 2) = h² + k² + 16 – 2hk – 8k + 8h
10h² + 10k² + 20h – 20k + 20 = h² + k² + 8h – 8k – 2hk + 16
9h² + 9k² + 12h – 12k + 4 + 2hk = 0
अतः बिन्दु Ph, k) का बिन्दुपथ
9x² + 9y² + 12x – 12y + 2xy + 4 = 0
अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण है।
(ii) माना कि दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु P(h, k) है तब परिभाषानुसार
PS = e(PM)
PS² = e²(PM)²
225(h² + k² + 4h – 6k + 13) = 9h² + 16k² + 1 + 24hk – 8k + 6h
216h² + 209k² + 906h – 1342k – 24hk + 2924 = 0
216h² + 209k² – 24hk + 906h – 1342k + 2924 = 0
अतः बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ
216x² + 209y² – 24xy + 906x – 1342y + 2924 = 0
अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण है।
प्रश्न 2.
निम्न दीर्घवृत्तों की उत्केन्द्रता, नाभिलम्ब और नाभि के निर्देशांक ज्ञात करो।
(i) 4x² + 9y² = 1
(ii) 25x² + 4y² = 100
(iii) 3x² + 4y² – 12x – 8y + 4 = 0
हल-
(i) दिया गया दीर्घवृत्त है
4x² + 9y² = 1
(ii) दिया गया दीर्घवृत्त है
25x² + 4y² = 100
(iii) 3x² + 4y² – 12x – 8y + 4 = 0
3x² – 12x + 4y² – 8y + 4 = 0
3(x² – 4x) + 4(y² – 2y) + 4 = 0
3(x² – 4x + 4 – 4) + 4(y² – 2y + 1 – 1) + 4 = 0
3(x² – 4x + 4) – 12 + 4(y² – 2y + 1) – 4 + 4 = 0
3(x – 2)² + 4(y – 1)² = 12
प्रश्न 3.
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अक्ष निर्देश अक्ष हों तथा यह बिन्दुओं (6, 2) एवं (4, 3) के गुजरता हो।
या,
हल-
माना कि दीर्घवृत्त का समीकरण
यह बिन्दु (4, 3) और (6, 2) से होकर जाता है।
समीकरण (1) को 4 से तथा (2) को 9 से गुणा करने पर
(4) में से (3) को घटाने पर
a² का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
प्रश्न 4.
उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलम्ब उसकी लघु अक्ष की आधी हो।
हल-
दीर्घवृत्त
प्रश्न 5.
एक बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार गमन करे कि उसकी बिन्दु (1,0) तथा (-1, 0) से दूरियों का योग सदैव 3 रहता है। यह बिन्दुपथ कौनसा वक्र है ?
हल-
माना बिन्दु P(h, k) इस प्रकार गमन करता है कि उसकी बिन्दु (1, 0) तथा (-1, 0) से दूरियों का योग 3 है तब
जो कि एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।