Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि रेखा \(y=x+\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } } \) दीर्घवृत्त 2x² + 3y² = 1 को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा
\(y=x+\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } } \)
स्पष्ट है- m = 1 और \(c=\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } } \)
दीर्घवृत्त का समीकरण
2x² + 3y² = 1
जब रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है, तब उसका प्रतिबन्ध निम्न
c² = (a²m² + b²)
मान रखने पर
इससे सिद्ध होता है कि रेखा \(y=x+\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } } \)
दीर्घवृत्त के समीकरण 2x² + 3y² = 1 को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दुओं के निर्देशांक-
प्रश्न 2.
प्रदर्शित कीजिए कि रेखा x – 2y – 4 = 0 दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 को स्पर्श करती है।
हल-
दी गयी रेखा का समीकरण
x – 2y – 4 = 0
∴ 2y = x – 4
c² = R.H.S. = L.H.S.
अतः रेखा x – 2y – 4 = 0 दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 को स्पर्श करती है।
प्रश्न 3.
k के किस मान के लिए रेखा 3x – 4y = k दीर्घवृत्त 5x² + 4y² = 20 को स्पर्श करती है ?
हल-
दी गयी रेखा के समीकरण से
3x – 4y = k
4y = 3x – k
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि रेखा \(x+y=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \) दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
स्पर्श करने की प्रतिबन्ध
c² = a²m² + b² …..(1)
दी गई रेखा से मान निकालने पर
\(x+y=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
\(y=-x+\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \) …(2)
समीकरण (2) की तुलना y = mx + c
से करने पर m = -1 और \(c=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
सभी मानों को समी. (1) में रखने पर
प्रश्न 5.
दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) को रेखा lx + my = n द्वारा स्पर्श करने की शर्त ज्ञात कीजिये।
हल-
दी गई रेखा से
lx + my = n
my = – lx + n.
n² = a²l² + m²b²
प्रश्न 6.
दीर्घवृत्त 4x² + 3y² = 5 के लिए उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिये जो x-अक्ष के साथ 60° का कोण बनाती हैं । स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) पर किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण होता है।
