RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Ex 14.2

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Ex 14.2

प्रश्न 1.
एक पासे को उछालने पर 4 से बड़ी अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक पासे के उछालने पर 6 तरह के अंक आने की सम्भावना रहती है।
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 6
प्रदत्त घटना के लिए 4 से बड़े अंक होंगे।
= {5, 6} आना अनुकूल स्थितियाँ
इनकी संख्या = 2 है
अतः घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ = 2
∴अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 2 }{ 6 }\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)

प्रश्न 2.
एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। दोनों बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक सिक्के को दो बार उछालने पर प्राप्त स्थितियों का समुच्चय
= {HH, HT, TH, TH}
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 4
प्रदत्त घटना के लिए दोनों बार चित्त (TT) आना
= (TT)
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 1
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 3.
1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या का यादृच्छिक चयन किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह एक अभाज्य संख्या हो।
हल-
1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या का यादृच्छिक चयन 17 प्रकार से हो सकता है अर्थात्
{1, 2, 3,…….. 17}
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 17
प्रदत्त घटना के लिए अभाज्य अंक होंगे-
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} जो कि अनुकूल स्थितियाँ हैं।
इनकी संख्या = 7
अतः घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ = 7
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 17 }\)

प्रश्न 4.
एक सिक्के के लगातार तीन उछालों में एकान्तरत: चित्त या पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक सिक्के को लगातार तीन बार उछालने पर आने वाले समस्त
सम्भावित परिणाम
= {HHH, HHT, HTH, HTT, TTT, TTH, THT, THH}
इनकी कुल संख्या = 8
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 8
एकान्तरतः चित्त या पट आने की स्थितियाँ
= {HTH, THT}
इनकी कुल संख्या = 2
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 2
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 2 }{ 8 }\) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 5.
यदि दो पासों को एक साथ उछाला जाता है तो युग्मक (doublet) अथवा 9 प्रदर्शित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
दो पासों को एक साथ उछालने पर आने वाले समस्त सम्भावित
परिणाम- {(1,1), (1, 2), (1, 3)…………… (1, 6)
= (2, 1)………………………………… (2, 6)
= (3, 1)………………………………… (3, 6)
…………………………………………………….
…………………………………………………….
= (6, 1)…………………………………..(6, 6)}
इनकी कुल संख्या = 36
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 36
अब युग्मक अथवा योग 9 आने की स्थितियाँ-
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)}
इनकी कुल संख्या = 10
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 10
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 10 }{ 36 }\) = \(\frac { 5 }{ 18 }\)

प्रश्न 6.
एक अलीप वर्ष में केवल 52 रविवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
अलीप वर्ष में दिनों की संख्या = 365
∴ अत: सप्ताहों की संख्या = \(\frac { 365 }{ 7 }\) = 52 सप्ताह तथा 1 दिन शेष 52 सप्ताह का अर्थ है कि अलीप वर्ष में 52 रविवार तो होंगे। ही। अब 1 शेष दिन निम्न में से कोई हो सकता है–
(रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार)
इनकी कुल स्थितियाँ = 1
अतः नि:शेष स्थितियाँ = 7
अब 52 रविवार तो अलीप वर्ष में होते ही हैं। इसलिए शेष 1 दिन रविवार न होकर अन्य दिवस होना चाहिए। अतः अनुकूल ‘स्थितियाँ = 6
अतः अलीप वर्ष में 52 रविवार आने की प्रायिकता = \(\frac { 6 }{ 7 }\)

प्रश्न 7.
ताश की एक गड्डी के 52 पत्तों में से एक पत्ता खींचा जाता है, उस पत्ते के इक्का होने के पक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ कुल स्थितियाँ = 52
अर्थात् नि:शेष स्थितियाँ = 52
इक्का होना अनुकूल स्थिति है।
अर्थात् अनुकूल स्थितियाँ = 4 (4 इक्के होते हैं)
प्रतिकूल स्थितियाँ = (52 – 4) = 48
अतः घटना के पक्ष में संयोगानुपात ।
= अनुकूल स्थितियाँ : प्रतिकूल स्थितियाँ
= 4 : 48
= 1 : 12

प्रश्न 8.
12 विद्यार्थियों की एक कक्षा में 5 लड़के और शेष लडकियाँ हैं । एक विद्यार्थी के चयन में लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
हल-
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 12
विद्यार्थी के चयन की नि:शेष स्थितियाँ = 12
विद्यार्थी के लड़की होने की अनुकूल स्थितियाँ
= लड़कियों की संख्या
= (12 – 5) = 7
तथा विद्यार्थी के लड़की नहीं होने की अनुकूल स्थितियाँ
= 12 – 7 = 5 प्रतिकूल स्थितियाँ
अतः लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात
= प्रतिकूल स्थितियाँ : अनुकूल स्थितियाँ
= 5 : 7

प्रश्न 9.
n व्यक्ति एक गोल मेज के चारों तरफ बैठते हैं। दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के विपक्ष में क्या संयोगानुपात होंगे ?
हल-
n व्यक्तियों के गोल मेज के चारों तरफ बैठने के कुल तरीके होंगे =
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यदि दो विशिष्ट व्यक्ति एक साथ बैठते हैं तो शेष (n – 2) व्यक्ति =
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तरीकों से बैठ सकते हैं। परन्तु वे दोनों भी एक साथ =
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तरीकों से बैठ सकते हैं। अतः दो विशिष्ट व्यक्तियों के साथ बैठने की अनुकूल स्थितियाँ
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प्रश्न 10.
तीन पत्र तथा तीन उनके संगत लिफाफे हैं। यदि सभी पत्र लिफाफों में यादृच्छया रखे जाते हैं, तो सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखने की क्या प्रायिकता है?
हल-
तीन पत्रों के तीन लिफाफों में रखे जाने के कुल तरीके
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सही लिफाफों में रखने का केवल एक ही तरीका है।
अतः सभी पत्रों के सही लिफाफों में रखे जाने की प्रायिकता
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∴ सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखे जाने की प्रायिकता
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प्रश्न 11.
प्रथम दो सौ पूर्णाकों में से एक अंक यादृच्छया चुना जाता है, इसकी 6 या 8 से विभाजित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
पूर्णांकों की संख्या = 200
अतः नि:शेष स्थितियाँ = 200
अनुकूल स्थितियाँ = (6 से भाज्य संख्या) + (8 से भाज्य संख्या) – (24 से भाज्य संख्याएँ)
= {6, 12, 18, …. 198} + {8, 16, 24,….. 200} – {24, 48, 72, ….. 192}
= 33 + 25 – 8
= 58 – 8
= 50
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 50 }{ 200 }\) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 12.
तीन पासों की एक फेंक में योग 15 से अधिक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
तीन पासे फेंकने पर नि:शेष स्थितियाँ होंगी = 6 x 6 x 6 = 216
प्रदत्त घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ होंगी = अंकों का योग 15 से अधिक लाना है अर्थात् 16, 17 तथा 18 लाना।

  • तीनों पासों के अंकों का योग 16 निम्नलिखित 6 प्रकार से आ सकता है- (4, 6, 6); (6, 4, 6); (6, 6, 4); (6, 5, 5); (5, 6, 5); (5, 5, 6)
  • तीनों पासों के अंकों का योग 17 निम्नलिखित 3 प्रकार से . हो सकता है- (5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5) अर्थात् तीन तरह से
  • तीनों पासों के अंकों का योग 18 निम्नलिखित 1 प्रकार से हो सकता है (6, 6, 6)

∴ तीनों पासों के अंकों का योग 15 से अधिक प्राप्त होने के कुल तरीकों की संख्या = 6 + 3 + 1 = 10
तब तीनों पासों के अंकों का योग 15 से अधिक आने की प्रायिकता
= \(\frac { 10 }{ 216 }\) = \(\frac { 5 }{ 108 }\)

प्रश्न 13.
शब्द ANGLE के अक्षर यादृच्छिक क्रम से एक पंक्ति में व्यवस्थित किये जाते हैं। स्वरों के एक साथ आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
ANGLE को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या
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प्रश्न 14.
एक ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसके इक्का, राजा या रानी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
ताश की गड्डी में पत्तों की संख्या = 52
अतः नि:शेष स्थितियाँ = 52
ताश की गड्डी में इक्का, राजा या रानी की संख्या
= 4 + 4 + 4 = 12
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 12
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 12 }{ 52 }\) = \(\frac { 3 }{ 13 }\)

प्रश्न 15.
एक थैले में 6 सफेद, 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इनमें से 3 गेंदें यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक निकाली जाती हैं। इन तीनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता क्या होगी जबकि निकाली गई गेंद वापस थैले में न रखी जाए?
हल-
6 सफेद, 7 लाल, 5 काली गेंदें हैं।
कुल गेंदों की संख्या = 6 + 7 + 5 = 18
जिनमें से 3 गेंद निकालनी हैं।
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