Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Ex 14.3
प्रश्न 1.
घटना A की प्रायिकता \(\frac { 2 }{ 11 }\) है तो घटना ‘A नहीं ‘ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
घटना ‘A नहीं ‘ की प्रायिकता = P(A’)
= 1 – P(A)
= 1 – \(\frac { 2 }{ 11 }\)
= \(\frac { 9 }{ 11 }\)
प्रश्न 2.
ग्राम पंचायत में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ सदस्य हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक सदस्य चुना जाता है, तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी सम्भावना है ?
हल-
कुल सदस्य = 4 पुरुष सदस्य + 6 स्त्रियाँ सदस्य
= 10 सदस्य
एक समिति के लिए यादृच्छया एक सदस्य चुना जाता है तो कुल नि:शेष स्थितियाँ = 10C1 = 10
तब एक स्त्री के चुने जाने की सम्भावना
प्रश्न 3.
एक पासा उछाले जाने पर निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या का आना,
(ii) 1 या 1 से छोटी संख्या आना,
(iii) 6 से छोटी संख्या का आना।
हल-
एक पासा उछालने पर नि:शेष स्थितियों का समुच्चय
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
तब
(i) अभाज्य संख्याएँ = {2, 3, 5}
एक अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता
(ii) एक या एक से छोटी संख्याएँ = {1}
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
(iii) छः से छोटी संख्याएँ = {1, 2, 3, 4, 5}
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 6 }\)
प्रश्न 4.
एक सिक्का चार बार उछाला जाता है। इन उछालों में से कम से कम तीन बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक सिक्का चार बार उछाला जाता है, एक सिक्के के एक उछाल में चित्त या पट दो स्थितियाँ बनती हैं। अत: 4 उछाल में बनने वाली कुल स्थितियाँ
= 2 × 2 × 2 × 2
= 16
अनुकुल स्थितियों में कम से कम तीन बार चित्त आना चाहिए।
∴ कम से कम तीन बार चित्त आने के तरीके
= 4C3 + 4C4
= 4 + 1
= 5
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 16 }\)
अन्य विधि–यहाँ प्रतिदर्श समष्टि = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, TTHH, THTH, THHT, TTTH, TTHT, THTT, HTTT, TTTT}
कुल = 16 स्थितियाँ, चित्त = H, पट = T
यहाँ कम से कम तीन बार चित्त आने वाली स्थितियाँ = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH}
कुल = 5 स्थितियाँ
अतः कम से कम तीन बार चित्त आने की प्रायिकता
= \(\frac { 5 }{ 16 }\)
प्रश्न 5.
यदि एक सिक्के तथा एक पासे को एक साथ उछाला जाये, तो सिक्के पर चित्त तथा पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल-
सिक्का फेंकने पर चित्त आने की प्रायिकता को A से प्रदर्शित करें तो।
P(A) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
पासे पर सम अंक 2, 4, 6 आ सकते हैं। पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता
अन्य विधि–यहाँ एक सिक्के तथा एक पासे को एक साथ उछालें तो प्राप्त कुल स्थितियाँ = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
कुल = 12 स्थितियाँ
सिक्के पर चित्त तथा पासे पर सम संख्या आने वाली अनुकूल स्थितियाँ = {H2, H4, H6}
प्रश्न 6.
20 मनुष्यों की कम्पनी में 5 स्नातक हैं। यदि यादृच्छिक रूप में 3 मनुष्य चुने जाये तो क्या प्रायिकता है कि उनमें से एक स्नातक हैं।
हल-
20 में से 3 मनुष्य चुनने के तरीके
= 20C3
अत: नि:शेष स्थितियाँ = 20C3
अब एक स्नातक होने की स्थिति = 5C1
तथा शेष दो अन्य होने की स्थिति = 15C2
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 15C2 × 5C1
प्रश्न 7.
किसी समस्या के हल करने के लिए A के विपक्ष में संयोगानुपात 4 : 3 है, B के पक्ष में संयोगानुपात 7 : 5 है। क्या सम्भावना है कि
(i) समस्या हल हो जायेगी ?
(ii) समस्या हल नहीं होगी?
(iii) केवल एक के द्वारा ही हल हो पायेगी ?
हल-
A के विपक्ष में संयोगानुपात = 4 : 3
अत: A द्वारा समस्या हल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac { 3 }{ 4+3 }\)
P(A) = \(\frac { 3 }{ 7 }\)
अतः A द्वारा समस्या हल नहीं होने की प्रायिकता
P(A’) = P(\(\overline { A } \)) = \(\frac { 4 }{ 7 }\)
अब B के पक्ष में संयोगानुपात = 7 : 5
अत: B द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता
P(B) = \(\frac { 7 }{ 7+5 }\) = \(\frac { 7 }{ 12 }\)
तथा B द्वारा समस्या हल नहीं करने की प्रायिकता
P(B’) = P(\(\overline { A } \)) = \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(i) समस्या हल हो पायेगी यदि A अथवा B दोनों में से एक अथवा दोनों समस्या को हल कर दें।
(ii) समस्या हल नहीं होगी यदि A व B दोनों ही समस्या को हल नहीं कर पाये अर्थात् अभीष्ट प्रायिकता
(iii) केवल एक के द्वारा हल होने की अभीष्ट प्रायिकता
प्रश्न 8.
एक उपकरण तभी काम करेगा जबकि उसके तीनों घटक A, B और C काम कर रहे हों। एक वर्ष में A के खराब होने की प्रायिकता 0.15, B की 0.05 और C की 0.10 है। वर्ष के अन्त होने से पहले उपकरण के खराब होने की प्रायिकता क्या है ?
हल-
यदि A, B, C के खराब होने की प्रायिकता क्रमशः P(A), P(B) और P(C) से व्यक्त करें, तो
P(A) = 0.15
P(B) = 0.05
P(C) = 0.10
P(\(\overline { A } \)) = 1 – 0.15 = 0.85
P(\(\overline { B } \)) = 1 – 0.05 = 0.95
P(\(\overline { C } \)) = 1 – 0.10 = 0.90
चूँकि घटक A, B, C का ठीक काम करना परस्पर स्वतन्त्र घटनाएँ हैं। इसलिए मिश्र प्रायिकता प्रमेय से
P (\(\overline { A } \quad \overline { B } \quad \overline { C } \)) = P(\(\overline { A } \)). P(\(\overline { B } \)). P(\(\overline { C } \))
= 0.85 x 0.95 x 0.90
= 0.72675
अतः तीनों घटकों के ठीक काम करने की प्रायिकता = 0.72675
∴ किसी एक घटक के खराब होने की प्रायिकता
= 1 – 72675
= 0.27325
अब चूँकि उपकरण वर्ष के अन्त से पहले खराब हो जायेगा यदि
उसका कम से कम एक घटक खराब है।
∴ अभीष्ट प्रायिकता = 0.27326
प्रश्न 9.
एक ताश की गड्डी में से दो बार में दो-दो पत्ते यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। यदि पहली बार निकाले गये पत्ते गड्डी में वापस नहीं रखे जाते हैं, तो पहली बार में दो इक्के और दूसरी बार में दो राजा निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। इन पत्तों में से 2 पत्ते निकालने की कुल नि:शेष स्थितियाँ होंगी = 52C2
ताश की गड्डी में कुल चार इक्के होते हैं जिनमें 2 इक्के खींचे जाते हैं, इसलिए इनकी कुल अनुकूल स्थितियाँ = 4C2
पहली बार 2 इक्के निकालने की प्रायिकता
प्रश्न 10.
A और B दो घटनाएँ हैं जिसमें P(A) = \(\frac { 1 }{ 3 }\). P(B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) तथा P(AB) = \(\frac { 1 }{ 12 }\) है, तो \(P\left( \frac { B }{ A } \right) \) ज्ञात कीजिए।
हल-
P(A) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
P(B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
यहाँ P(A) x P(B) = \(\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 12 } \)
अतः P(A) x P(B) = P(AB)
∴ A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं इसलिए
\(P\left( \frac { B }{ A } \right) \) = P(B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
प्रश्न 11.
कल्पना करें कि पुरुष व बच्चों का अनुपात 1: 2 है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक परिवार में 5 बच्चों में
(i) सभी लड़के होंगे
(ii) उनमें से तीन लड़के एवं दो लड़कियाँ होंगी।
हल-
पुरुष व बच्चों का अनुपात = 1 : 2
लड़का होने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
लड़की होने की प्रायिकता = \(1-\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(i) परिवार में 5 बच्चों में से सभी लड़के होंगे तब इसकी प्रायिकता
(ii) तीन लड़के व दो लड़कियाँ होने की प्रायिकता
नोट-5 बच्चों में से लड़का (B) व लड़की (G) होने की कुल 32 स्थितियाँ होंगी। जैसे—B1B2B3B4B5; (पाँच लड़के), B1B2B3B4G5; (प्रथम चार लड़के व पाँचवीं लड़की), B1B2B3G4B5, B1B2G3B4B5, B1G2B3B4B5, …… इत्यादि । तीन लड़के व दो लड़कियों की कुल स्थितियाँ 10 होंगी। जैसे—B1B2B3G4G5, B1B2G3G4B5, B1B2G3B4G5; ……. इत्यादि।
प्रश्न 12.
A एक निशाने को 6 में से 3 बार सही लगा सकता है, B, 4 में से 2 बार सही लगा सकता है तथा C, 4 में से एक बार सही लगा सकता है। वे एक साथ निशाना लगाते हैं। बताइये कि कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाये जाने की प्रायिकता क्या होगी?
हल-
A के सही निशाना लगने की प्रायिकता
B के सही निशाना लगाने की प्रायिकता
C के सही निशाना लगाने की प्रायिकता
अतः कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाये जाने की प्रायिकता-
