Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 2 सम्बन्ध एवं फलन Ex 2.1
प्रश्न 1.
यदि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} तो निम्न में से कौन A , से B में सम्बन्ध है? कारण सहित उत्तर दीजिए :
(i) {(1, 4), (3, 5), (3, 6)}
(ii) {(1, 6), (2, 6), (3, 6)}
(iii) {(1, 5), (3, 4), (5, 1), (3, 6)}
(iv) {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 2)}
(v) A × B
हल-
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}
∴ A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
(i) R1 = {(1, 4), (3, 5), (3, 6)}.
∵ R1 ⊆ A x B
∴ R1, A से B में सम्बन्ध है।
(ii) R2 = {(1, 6), (2, 6), (3, 6)}
∵ R2 ⊆ A x B
∴ R2, A से B में एक सम्बन्ध है।
(iii) R3 = {(1, 5), (3, 4), (5, 1), (3, 6)}
∵ (5, 1) ∈ R3 परन्तु (5, 1) ∉ A x B ⇒ ⊄ Ax B
∴ R3, A से B में सम्बन्ध नहीं है।
(iv) R4 = {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 2)}
∵ (4, 2) ∈ R4 परन्तु (4, 2) ∉ A x B
∴ R4 ⊄ A x B
अतः R4 A से B में सम्बन्ध नहीं है।
(v) R5 = A x B
R5 = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
∵ R5 ⊆ A x B ⇒ R5,
A से B में सम्बन्ध है।
प्रश्न 2.
N में परिभाषित निम्न सम्बन्धों को नियम रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), …….}
(ii) {(2, 3), (4, 2), (6, 1)}
(iii) {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), …….}
हल-
(i) R1 = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4,9), …….}
दिया गया सम्बन्ध ऐसे क्रमित युग्मों (x, y) को समुच्चय है, जिसका दूसरा घटक, प्रथम घटक के दुगुने से एक अधिक है।
अर्थात् y = 2x + 1
∴ R1 = {(x, y) | x, y ∈ N, y = 2x + 1}
(ii) R2 = {(2, 3), (4, 2), (6, 1)}
∴ R2 = {(x, y) | x, y ∈ N, x + 2 = 8}
(iii) R3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), …….}
दिया गया सम्बन्ध ऐसे क्रमिक युग्मों (x, y) का समुच्चय है, जिसका प्रथम घटक दूसरे घटक से एक अधिक है।
अर्थात् y = x – 1
∴ R3 = {(x, y) | x, y ∈ N, y = x – 1}
प्रश्न 3.
समुच्चय A = {2, 3, 4, 5} से समुच्चये B = {3, 6, 7, 10} में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि xRy⇔x,y के सापेक्ष अभाज्य है। सम्बन्ध R को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में लिखिए तथा R के प्रान्त एवं परिसर भी ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ दिया है :
A = {2, 3, 4, 5} तथा B = {3, 6, 7, 10}
xRy⇔x,y के सापेक्ष अभाज्य है, ⇒\(\frac { x }{ y }\) अभाज्य
∴ R = {(2, 3), (2, 7), (3, 7), (3, 10), (4, 3), (4, 7), (5, 3), (5, 6), (5, 7)}
∴ R का प्रान्त = {2, 3, 4, 5} = समुच्चय A
R का परिसर = {3, 6, 7, 10} = समुच्चय B
प्रश्न 4.
यदि पूर्णांकों के समुच्चय Z में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हो कि xRy⇔ x² + y² = 25 तब R तथा R-1 को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में लिखिए तथा उनके प्रान्त भी ज्ञात कीजिए।
हल-
xRy⇔x² + y² = 25
⇒ y² = 25 – x² ⇒ y = ±√25 – x²
x = 0 पर, y = ±5
x = ±3 पर y = ±4 तथा x = ±4 पर, y = ±3
अतः x = 0, 3, -3, 4, – 4, 5, -5 ∈ Z
∴ R = {(0, 5), (0, -5), (3, 4), (3, -4), (-3, 4), (-3, -4), (4, 3), (-4, 3), (4,-3), (-4,-3), (5 ,0), (-5, 0)}
R-1 = {(5, 0), (-5, 0), (4, 3), (-4, 3), (4, -3), (-4,-3), (3, 4), (3,-4), (-3, 4), (-3, -4), (0, 5), (0, -5)}
R का प्रान्त = {0, 3, -3, 4, -4, 5, -5}
= R-1 को प्रान्त
प्रश्न 5.
यदि सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में एक सम्बन्ध Φ इस प्रकार परिभाषित किया जाए x Φ y ⇔ |x| = y कारण सहित बताइए कि निम्नलिखित में से कौनसे सत्य अथवा असत्य हैं :
(i) (1 + i) Φ 3
(ii) 3Φ (-3)
(iii) (2 + 3i) Φ 13
(iv) (1 + i) Φ 1
हल-
x Φ y = |x| = y
(i) (1 + i) Φ 3
⇒ √1+1 = √2 ≠ 3
∴ (1 + i) Φ 3 असत्य है।
(ii) 3Φ (-3) ⇒ |3| = -3
⇒ 3≠ -3
∴ 3Φ (-3), असत्य है।
(ii) (2 + 31) Φ 13 ⇒ |2 + 3i| = 13
= √4+9 = √13 ≠ 13
∴ (2 + 3i) Φ 13, असत्य है।
(iv) (1 + i) Φ 1 ⇒ |1 + i| = 1
= √1+1 = √2 ≠ 1
∴ (1 + i) Φ 1 असत्य है।
प्रश्न 6.
यदि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5} से समुच्चय B = {1, 4, 5} में एक सम्बन्ध R“x<y” द्वारा परिभाषित किया जाए तो R को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में व्यक्त कीजिए। R-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल-
A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा B = {1, 4, 5}
R = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x < y}|
R = {(1, 4), (1,5), (2,4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}
∴ R-1= {(4, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3), (5,4)}
प्रश्न 7.
निम्न सम्बन्धों को क्रमित युग्मों के समुच्चयों के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) R1, समुच्चय A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} से समुच्चय B = {1, 2, 3} में x = 2y से परिभाषित सम्बन्ध है।
(ii) R2, समुच्चय A= {8, 9, 10, 11} से समुच्चय B = {5, 6, 7, 8} में y = x – 2 से परिभाषित सम्बन्ध है।
(iii) R3, समुच्चय A= {0, 1, 2,……, 10} में 2x + 3y = 12 से परिभाषित सम्बन्ध है।
(iv) R4 समुच्चय A = {5, 6, 7, 8} से समुच्चय B = {10, 12, 15, 16, 18} में x, y का भाजक” से परिभाषित है।
हल-
(i) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} तथा B = {1, 2, 3}
R1 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x = 2}
∴ R1 = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}
(ii) A = {8, 9, 10, 11} तथा B = {5, 6, 7, 8}
R2 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, y = x – 2}
y = x – 2 ⇒ x = y + 2
∴ R2 = {(8, 6), (9, 7), (10, 8)}
(iii) A = {0, 1, 2, ……, 10}
2x + 3y = 12 ⇒ x = \(\frac { 12-3y }{ 2 }\)}
∴ R = {(x, y) | x, y ∈ A, x = \(\frac { 12-3y }{ 2 }\)}
अतः अभीष्ट सम्बन्ध
R3 = {(6, 0), (3, 2), (0, 4)} = {(0, 4), (3, 2), (6, 0)}
(iv) A = {5, 6, 7, 8} तथा B = {10, 12, 15, 16, 18}
xR4y ⇔ x, y का भाजक है, ⇒\(\frac { y }{ x }\)
∴ R4 = {(5,10), (5,15), (6, 12), (6, 18), (8, 16)}
प्रश्न 8.
निम्न में से प्रत्येक सम्बन्ध का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए :
(i) R = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 2), (4, 2)}
(ii) R = {(x, y) | x, y ∈ N ; x < y}
(iii) R, समुच्चय A = {0, 1, 2, ….., 10} में 2x + 3y = 12 से परिभाषित है।
हल-
(i) R = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 2), (4, 2)}
R-1 = {(3, 2), (4, 2), (3, 3), (2, 3), (2, 4)}
(ii) R = {(x, y) | x, y ∈ N : x < y}
∴ R-1 = {(y, x) | x, y ∈ R, x > y}
(iii) A = {0, 1, 2, ….., 10}, 2x + 3y = 12
⇒ \(x=\frac { 12-3y }{ 2 }\)
जब y = 0 तब x = 6
जब y = 2 तब x = 3
जब y = 4 तब x = 0
R = {(0, 4), (3, 2), (6, 0)} ⇒ R-1 = {(4, 0), (2, 3), (0, 6)}