Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 2 सम्बन्ध एवं फलन Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
यदि A = {a, b, c, d} तथा B = {p, q, r, s} तब A से B में सम्बन्ध है :
(A) {(a, p), (b, r), (c, r)}
(B) {(a, p), (b, q), (c, r), (s, d)}
(C) {(b, a), (q, b), (c, r)}
(D) {(c, s), (d, s), (r, a), (q, b)}
हल :
(A)
प्रश्न 2.
N में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि x R y ⇔ x + 4y = 16, तो R का परिसर है :
(A) {1, 2, 4}
(B) {1, 3, 4}
(C) {1, 2, 3}।
(D) {2, 3, 4}
हल :
(C)
प्रश्न 3.
N में सम्बन्ध {(1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17), ……} का नियम रूप है :
(A) {(x, y) | x, y ∈ N, y = 2x + 1}
(B) {(x, y) | x, y ∈ N, y = x² + 1}
(C) {(x, y) | x, y ∈ N, y = 3x – 1}
(D) {(x, y) | x, y ∈ N, y = x + 3}
हल :
(B)
प्रश्न 4.
यदि A = {2, 3, 4} तथा B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. A से B में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि “x,y को विभाजित करता है तब R-1 है” :
(A) {(4, 2), (6, 2), (8, 2), (3, 3), (6, 3), (4,4), (8, 4)}
(B) {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (4,8}}
(C) {(3, 3), (4, 4), (8, 4)}
(D) {(4, 2), (6, 3), (8, 4)}
हल :
(A)
प्रश्न 5.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में सम्बन्ध “x,y से छोटा है” होगा :
(A) स्वतुल्य तथा संक्रामक
(B) सममित तथा संक्रामक
(C) प्रति सममित तथा संक्रामक
(D) स्वतुल्य तथा प्रति-समभित
हल :
(C)
प्रश्न 6.
अशून्य पूर्णाकों के समुच्चय में एक सम्बन्ध इस प्रकार परिभाषित है कि x R y ⇔ xy = yx तब R है :
(A) स्वतुल्य तथा सममित परन्तु संक्रामक नहीं
(B) स्वतुल्य तथा प्रति-सममित परन्तु संक्रामक नहीं
(C) स्वतुल्य, प्रतिसममित तथा संक्रामक
(D) स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक
हल :
(D)
प्रश्न 7.
यदि सम्बन्ध R, “x, y का भाजक है” द्वारा परिभाषित हो तो बताइए कि N के निम्न उपसमुच्चयों में से कौनसा उपसमुच्चय एक पूर्ण क्रमित समुच्चय है :
(A) {36, 3, 9}
(B) {7, 77, 11}
(C) {3, 6, 9, 12, 24}
{D) {1, 2, 3, 4, ……}
हल :
(A)
प्रश्न 8.
पूर्णांकों के समुच्चय Z पर परिभाषित निम्न सम्बन्धों में से कौनसा सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं है :
(A) a R1 b ⇔ (a + b) एक सम पूर्णाक है।
(B) a R2 b ⇔ (a – b) एक सम पूर्णाक है।
(C) a R3 b ⇔ a<b
(D) a R4 b ⇔ a = b
हल :
(C)
प्रश्न 9.
समुच्चय A = {1, 2, 3} पर एक सम्बन्ध R परिभाषित है जहाँ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)} तब R है :
(A) स्वतुल्य परन्तु संक्रामक नहीं
(B) स्वतुल्य परन्तु सममित नहीं
(C) सममित तथा संक्रामक
(D) न सममित न स्वतुल्य
हल :
(B)
प्रश्न 10.
यदि A = {a, b, c} तो परिभाषित किए जाने वाले सभी सम्भव अरिक्त सम्बन्धों की संख्या है :
(A) 511
(B) 512
(C) 8
(D) 7
हल :
(A)
प्रश्न 11.
यदि A= {1, 2, 3, 4} तब निम्न में से कौन A में एक फलन है ?
(A) f1 = {(x, y) | y = x + 1}
(B) f2 = {(x, y) | x + y > 4}
(C) f3 = {(x, y) | y < x}
(D) f4 = {(x, y) | x + y = 5}
हल :
(D)
प्रश्न 12.
फलन f: N → N, f(x) 2x + 3 है।
(A) एकैकी आच्छादक
(B) एकैकी अन्तर्केपी
(C) बहु-एकी आच्छादक
(D) बहु-एकी अन्तर्केपी
हल :
(B)
प्रश्न 13.
R से R में परिभाषित निम्न में से कौनसा फलन आच्छादक है ?
(A) f(x) = |x|
(B) f(x) = e-x
(C) f(x) = x³
(D) f(x) = sin x
हल :
(C)
प्रश्न 14.
R से R में परिभाषित निम्न में से कौनसी फलने एकैकी है ?
(A) f(x) = |x|
(B) f(x) = cos x
(C) f(x) = ex
(D) f(x) = x²
हल :
(C)
प्रश्न 15.
f: R → R, f(x) = x² + x है।
(A) एकैकी आच्छादक
(B) एकैकी अन्तर्केपी
(C) बहु-एकी आच्छादक
(D) बहु-एकी अन्तर्केपी
हल :
(D)
प्रश्न 16.
निम्न में से कौनसा फलन आच्छादक है :
(A) f: Z→ Z, f(x) = |x|
(B) f: N → Z, f(x) = |x|
(C) f: R0 → R+, f(x) = |x|
(D) f: C → R, f(x) = |x|
हल :
(C)
प्रश्न 17.
फलन f(x) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { |x|-x } } \) का प्रान्त है :
(A) R+
(B) R–
(C) R0
(D) R
हल :
(B)
प्रश्न 18.
यदि x वास्तविक संख्या हो तब f(x) = \(\frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \) का परिसर है :
हल :
(A)
प्रश्न 19.
फलन f(x) = \(cos\frac { x }{ 3 }\) का परिसर है :
हल :
(C)
प्रश्न 20.
\(\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) से R में परिभाषित निम्न में से कौनसा फलन एकैकी
आच्छादक है :
(A) f(x) = tan x
(B) f(x) = sin x
(C) f(x) = cos x
(D) f(x) = ex + e-x
हल :
(A)
प्रश्न 21.
निम्न सम्बन्ध R के प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए :
R = [(x + 1, x + 5) | x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}]
हल :
R = [(x + 1, x + 5) | x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}]
जब x = 0, R = {(1, 5)}
x = 1, R = {(1 + 1, 1 + 5)} = {(2, 6)}
x = 2, R = {(2 + 1, 2 + 5)} = {(3, 7)}
x = 3, R = {(3 + 1, 3 + 5)} = {(4, 8)}
x = 4, R = {(4+ 1, 4 + 5)} = {(5, 9)}
x = 5, R = {(5 + 1, 5 + 5)} = {(6, 10)}
∴ R = {(1,5), (2, 6), (3, 7), (4, 8), (5, 9), (6, 10)}
∴ R का प्रान्त = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R का परिसर = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
प्रश्न 22.
यदि A= {1, 2} तब A पर परिभाषित सभी अरिक्त सम्बन्धों को लिखिए।
हल :
A = {1, 2} ⇒ अरिक्त सम्बन्धों की संख्या
= 2mn – 1 = 24 – 1
= 16 – 1 = 15
∴ R1 = {(1, 1)},
R2 = {(2, 2)},
R3 = {(1, 2)},
R4 = {(2, 1)},
R5 = {(1,1), (2, 2)},
R6 = {(1, 1), (1, 2)},
R7 = {(1,1), (2, 1)},
R8 = {(2, 2), (1, 2)},
R9 = {(2, 2), (2, 1)},
R10 = {(1, 2), (2, 1)},
R11 = {(1,1), (2, 2), (1,2)},
R12 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1)}
R13 = {(1,1), (1, 2), (2, 1)},
R14 = {2, 2), (1, 2), (2, 1)}
R15 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
प्रश्न 23.
निम्न सम्बन्धों के प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए :
(i) R1 = {(x, y) | x, y ∈ N तथा x + y = 10}
(i) R2 = {(x, y) | y = x – 1|, x ∈ Z तथा |x| < 3}
हल-
(i) R1 = {(x, y) | x, y ∈ N तथा x + y = 10}
x R1 y ⇒ x + y = 10
∴ y = 10 – x; x, y ∈ N
इसलिए R1 = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)}
∴ R1 की प्रान्त = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
R1 का परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(ii) R2 = {(x, y) | y = |x – 1|, x ∈ Z तथा x ≤ 3}
∴ जब x = 1 तब y = |1 – 1| = 0, ∴ 1 R2 0
जब x = 2 तब = |2 – 1| = 1, ∴ 2 R2 1
जब x = 3 तब y = |3 – 1| = 2, ∴ 3 R2 2
जब x = 0 तब y = |0 – 1| = 1, ∴ 0 R2 1
जब x = -1 तब y = |- 1 – 1| = |-2| = 2, ∴ -1 R2 2
जब x = -2 तब y = |-2 – 1| = |-3| = 3, ∴ -2 R2 3
जब x = -3 तब y = |-3 – 1| = |-4| = 4, ∴ -3 R2 4
∴ R2 = {(-3, 4), (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 2)}
इसलिए R2 का प्रान्त = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
R2 का परिसर = {4, 3, 2, 1, 0} = {0, 1, 2, 3, 4}
प्रश्न 24.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में दो सम्बन्ध R1 तथा R2 निम्न प्रकार परिभाषित हैं :
(i) a R1 b ⇔ a – b > 0
(ii) a R2 b ⇔ |a| ≤ b
R1 तथा R2 की स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रामकता की जाँच कीजिए।
हल-
(i) a R1 b ⇒ a – b > 0, a, b ∈ R
स्वतुल्य : माना a ∈ R
a R1 a ⇒ a – a > 0
जो कि सम्भव नहीं है।
∴ R1 स्वतुल्य नहीं है।
सममित : a,b ∈ R
माना a R1 b ⇒ a – b > 0
⇒ – (b – a) > 0
⇒ b – a < 0
∴ R1 सममित नहीं है।
संक्रामक : a, b, c ∈ R
माना a R1 b ⇒ a – b > 0
⇒ a > b
एवं b R1 c ⇒ b – c > 0
b > c
अतः स्पष्ट हो रहा है कि
⇒ a > c
⇒ a – c > 0
⇒ a R1 c
∴ R1 संक्रामक है।
(ii) a R2 b ⇔ |a| ≤ b, a, b ∈ R
स्वतुल्य : a ∈ R
माना a R2 a ⇒ |a| ≤ a
जो कि सत्य नहीं है।
⇒ R2 स्वतुल्य सम्बन्ध नहीं है।
सममित : a, b ∈ R
a R2 b ⇒ |a| ≤ b
⇒b ≥ |a|
इसलिए R2 सममित नहीं है।
संक्रामक : a, b, c ∈ R
a R b ⇒ |a| ≤ b
b R c ⇒ |b| ≤ c
⇒ |a| ≤ c
⇒ a R2 c
∴ R2 संक्रामक सम्बन्ध है।
अतः R2 स्वतुल्य एवं संक्रामक है, परन्तु सममित नहीं है।
प्रश्न 25.
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N पर एक सम्बन्ध R निम्न प्रकार परिभाषित है :
a R b ⇔ a² – 4ab + 3b² = 0, (a, b ∈ N)
सिद्ध कीजिए कि R स्वतुल्य है परन्तु सममित तथा संक्रामक नहीं है।
हल-
a R b ⇔ a² – 4ab + 3b² = 0, a, b ∈ N
स्वतुल्य : a ∈ N
a R a ⇒ a² – 4a . a + 3a² = 0
⇒ 4a² – 4a² = 0
∴ R स्वतुल्य सम्बन्ध है।
सममित : माना 3, 1 ∈ N
3 R 1 ⇒ 3² – 4 x 3 x 1 = 3 x 1²
⇒ 9 – 12 + 3 = 0
अब 1 R 3 ⇒ 1² – 4 x 1 x 3 + 3 x 3²
⇒ 1 – 12 + 27 ≠ 0
∴ R सममित नहीं है।
संक्रामक : 9, 3, 1 ∈ N
9 R 3 ⇒ 9² – 4 x 9 x 3 +3 x 3²
⇒ 81 – 108 + 27
⇒ 108 – 108 = 0
3 R 1 ⇒ 3² – 4 x 3 x 1 + 3 x 1²
⇒ 9 – 12 + 3 = 0
a R 1 ⇒ 9² – 4 x 9 x 1 + 3 x 1²
⇒ 81 – 36 + 3 ≠ 0
∴ R संक्रामक नहीं है।
अतः R स्वतुल्य है, परन्तु सममित एवं संक्रामक नहीं है।
प्रश्न 26.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में दो सम्बन्ध R1 तथा R2 निम्न प्रकार परिभाषित हैं :
(i) a R1 b ⇔ |a| = |b|
(ii) a R2 b ⇔ |a| ≤ |b|
सिद्ध कीजिए कि R1 एक तुल्यता सम्बन्ध है पर R2 एक तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
हल-
(i) a R1 b ⇔ |a| = |b|, a, b ∈ R
स्वतुल्य : माना a ∈ R
a R1 a ⇒ |a| = |a|
जो कि सत्य है
∴ R1 स्वतुल्य सम्बन्ध है।
सममित : माना a, b ∈ R
a R1 b ⇒ |a| = |b|
⇒ |b| = |a|
⇒ b R1 a
∴ R1 सममित सम्बन्ध है।
संक्रामक : माना a, b, c ∈ R
a R1 b ⇒ |a| = |b|
b R1 c ⇒ |b| = |c|
⇒ |a| = |c|
⇒ a R1 c
⇒ R1 संक्रामक सम्बन्ध है।
∵ R1 स्वतुल्य, सममित एवं संक्रामक सम्बन्ध है।
अतः R1 एक तुल्यता सम्बन्ध होगा।
(ii) a R2 b ⇔ |a| ≤ |b|
स्वतुल्य : माना a ∈ R
a R2 a ⇒ |a| ≤ |a|
∴R2 स्वतुल्य सम्बन्ध है।
सममित : मानी a, b ∈ R
a R2 b ⇒ |a| ≤ |b|
⇒ | b | ≤ | a |
यह तभी सम्भव होगा, जबकि a = b ⇒ R2 प्रति सममित सम्बन्ध होगा।
∵ R2 सममित सम्बन्ध नहीं है, अतः।
∵ R2 तुल्यता सम्बन्ध नहीं होगा।
प्रश्न 27.
समुच्चय A= {1, 2, 3} में एक सम्बन्ध R निम्न प्रकार परिभाषित है :
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}
R की स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रामकता की जाँच कीजिए।
हल-
A = {1, 2, 3}।
R = {(1,1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}
R में 1 R 1, 2 R 2, 3 R 3 ⇒ R स्वतुल्य है।
R में 1 R 2 ⇒ 2 R 1 है, ⇒ R सममित है।
R में 1 R 2 एवं 2 R 3 है, ⇒ 1 R 3 भी R में विद्यमान है।
अतः R संक्रामक सम्बन्ध भी है ।
प्रश्न 28.
फलन \(\frac { 1 }{ \sqrt { \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) } } \) का प्रान्त ज्ञात कीजिए।
हल-
f(x) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) } } \)
फलन f(x) परिभाषित होगा यदि (x + 1) (x + 2) > 0
स्थिति I. (x + 1) > 0, (x + 2) > 0 ⇒ x > -1, > -2
स्थिति ll. (x + 1) < 0, (x + 2) < 0 ⇒ x < -1, x < -2
⇒ -1