Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विपद प्रसारों में अंकित पद ज्ञात कीजिए।
(i) (a + 2x3)17 का 5 वाँ पद
हेल-
हम जानते हैं
Tr+1= nCr xn-r ar
यहाँ पर r = 4 होगा।
∴ T4+1 = T5 = 17C4 (a)17-4. (23)4
T5 = 17C4 . a13 . 24 . x12
= 17C4 . a13. 16x12
(ii) \({ \left( \frac { x }{ y } -\frac { 3y }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 12 }\) का 9 वाँ पद
हल-
हम जानते हैं ।
Tr+1= nCr xn-r ar
यहाँ पर r = 8 होगा।
(iii) \({ \left( \frac { 2 }{ \sqrt { x } } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) }^{ 9 }\) का 9 वाँ पद
हम जानते हैं
Tr+1= nCr xn-r ar
यहाँ पर r = 5 होगा।
प्रश्न 2.
गुणांक ज्ञात कीजिए
(i) \({ \left( ax-\frac { 1 }{ { bx }^{ 2 } } \right) }^{ 8 }\) के प्रसार में x-7 का
हल-
माना कि x-7, Tr+1 पद में आता है। तब
(ii) \({ \left( { x }^{ 4 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 15 }\) के प्रसार में x4 का
हल-
माना कि x4, Tr+1 पद में आता है। तब
= 6435
(iii) (a – bx²)10 के प्रसार में x6 का
हल-
माना कि x6, Tr+1 पद में आता है। तब
Tr+1 = 10Cr (a)10-r. (-bx2)r
= 10Cr (a)10-r (-1)r br . x2r ……..(1)
इसमें x की घात 6 होनी चाहिए।
अतः 2r = 6 ∴ r = 3
r का मान समी. (1) में रखने पर, x6 का गुणांक
प्रश्न 3.
निम्नलिखित के प्रसार में x रहित पद ज्ञात कीजिए
(i) \({ \left( { x }-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 12 }\)
हल-
माना x रहित पद Tr+1 वाँ पद है।
∴ Tr+1= nCr xn-r ar
(ii) \({ \left( { \sqrt { x } }-\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 10 }\) ,x > 0
हल-
माना कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।
(iii) \({ \left( { \sqrt { \frac { x }{ 3 } } }+\frac { 3 }{ 2{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 10 }\)
हल-
माना, कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।
(iv) \({ \left( { { x }^{ 2 } }-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 10 }\)
हल-
माना कि (r + 1) वाँ पद x रहित है।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
(i) \({ \left( \frac { x }{ 2 } +2y \right) }^{ 6 }\)
हल-
\({ \left( \frac { x }{ 2 } +2y \right) }^{ 6 }\) के प्रसार में पदों की संख्या = 6 + 1 = 7(विषम)
= 20x³y³
(ii) \({ \left( 3a-\frac { { a }^{ 3 } }{ 6 } \right) }^{ 9 }\)
हल-
\({ \left( 3a-\frac { { a }^{ 3 } }{ 6 } \right) }^{ 9 }\) के प्रसार में पदों की संख्या
= 9 + 1 = 10 (सम)
(iii) \({ \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 2n }\)
हल।
\({ \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 2n }\) प्रसार में पदों की संख्या = 2n + 1
जो कि एक विषम संख्या है। इसलिए
(iv) \({ \left( 3x-\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 15 }\)
हल-
\({ \left( 3x-\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 15 }\) के प्रसार में पदों की संख्या
= 15 + 1 = 16 (सम)
प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि यदि n सम हो, तब (1 + x)n के प्रसार में मध्य पद का गुणांक \(\frac { 1.3.2…….(n-1) }{ 2.4.6……n }\) 2n होगा। यदि n
विषम हो, तो दोनों मध्य पदों का गुणांक \(\frac { 1.3.5….n }{ 2.4.6 (n+1) }\) 2n होगा।
हल-
(i) n के सम होने पर माना n = 2k
∴ (1 + x)2k के प्रसार में (2k + 1) पद होंगे, जिनका मध्य पद \(\frac { 2k+1+1 }{ 2 }\)
= (k + 1)वाँ पद होगा।
(ii) यदि n विषम है तो माना n = 2k +1, अतः (1 + x)2k+1 के विस्तार में (2k + 1) + 1 अर्थात् (2k + 2) पद होंगे।
इसलिए मध्य पद , \(\frac { 2k+2 }{ 2 }\) = k + 1 वाँ पद
प्रश्न 6.
यदि \({ \left( ax+\frac { 1 }{ bx } \right) }^{ 11 }\) के प्रसार में x7 का गुणांक तथा x-7 का गुणांक बराबर है तब सिद्ध कीजिए ab – 1 = 0.
हल-
\({ \left( ax+\frac { 1 }{ bx } \right) }^{ 11 }\) के प्रसार का व्यापक पद
प्रश्न 7.
(1 + y)n के विस्तार में यदि 5 वें, 6 वें तथा 7 वें पदों के गुणांक स.श्रे. में हों, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
∵ (1 + y)n के प्रसार में Tr+1 = nCr yr
∴ (r + 1)वें पद का गुणांक = nCr
∴ 5वें पद का गुणांक = nC4
6ठे पद का गुणांक = nC5
7वें पद का गुणांक = nC6
nC4, nC5, nC6, समान्तर श्रेणी में हों, तब
2nC5 = nC4 + nC6
⇒ (17 – n) (n – 4) (n – 5) = 30 (h – 5)
⇒ (17 – n) (n – 4) = 30
⇒ 21n – 68 – n² = 30
⇒ n² – 21n + 98 = 0
⇒ (n – 14) (n – 7) = 0
⇒ n = 7 या 14
∴ n = 7 या 14
प्रश्न 8.
(x + a)n के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमशः 240, 720 और 1080 हैं। x, a तथा n ज्ञात कीजिए।
हल-
हमें ज्ञात है कि दूसरा पद T2 = 240
परन्तु T2 = nC1 xn-1. a
इसलिए nC1 xn-1. a = 240 …. (1)
इसी प्रकार nC2 xn-2 a2 = 720 ….(2)
और nC2 xn-3 a3 = 1080 ….. (3)
(2) को (1) से भाग करने पर हमें प्राप्त होता है,
इन समीकरणों को हल करने से हम x = 2, a = 3 तथा n = 5 प्राप्त करते हैं।
प्रश्न 9.
यदि (1 + a)n के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक 1 : 7 : 42 के अनुपात में हैं तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
मान लीजिए (1 + a)n के प्रसार में (r – 1)वाँ, rवाँ तथा (r + 1)वाँ पद, तीन क्रमागत पद हैं। (r – 1)वाँ पद nCr-2ar-2 है तथा इसका गुणांक nCr-2 है। इसी rवें प्रकार तथा (r + 1)वें पदों के गुणांक क्रमशः nCr-1 व nCr हैं। क्योंकि गुणांकों का अनुपात 1 : 7 : 42 है इसलिए
⇒ 6r = n – r + 1
⇒ 7r – n – 1 = 0 ….(2)
समीकरण (1) में समीकरण (2) को घटाने पर।
– r + 8 = 0 ∴ r = 8
r का मान समीकरण (1) में रखने पर।
8 x 8 – n – 9 = 0
64 – n – 9 = 0
∴ n = 55
प्रश्न 10.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1 + x)m के प्रसार में x2 का गुणांक 6 हो।
हल-
हम जानते हैं कि
(1 + x)m = mC0 + mC1x1 + mC2 x2 + …….. + mCm rm
इस प्रसार में x2 का गुणांक mC2 होगा जो कि प्रश्नानुसार 6 के बराबर है।
∴ mC2 = 6
या m (m – 1) = 2 x 6
या m² – m = 12
या m² – m – 12 = 0
या m² – 4m² + 3m – 12 = 0
या m(m – 4) + 3(m – 4) = 0
या (m – 4) (m + 3) = 0
या m – 4 = 0
या m + 3 = 0
या m = 4 या m = – 3
नकारात्मक मान को उपेक्षणीय मानने पर m = 4.