Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.4
प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विपदों का चार पदों तक प्रसार कीजिए
(i) (1 + x²)-2
हल-
(i) (1 + x²)-2
हम जानते हैं।
चार पदों तक प्रसार लेने पर
= 1 – 2x2 + 3x4 – 4x6
(ii) \({ \left( 1-\frac { x }{ 2 } \right) }^{ 1/2 }\)
हल-
\({ \left( 1-\frac { x }{ 2 } \right) }^{ 1/2 }\)
हम जानते हैं।
(iii) (3 – 2x²)-2/3
हल-
(3 – 2x²)-2/3
चार पदों तक प्रसार लेने पर
(iv) \(\frac { 1 }{ \sqrt { 5+4x } } \)
हल-
प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रसारों में वांछित पद ज्ञात कीजिए
(i) (1 – 3x)-1/3 का चौथा पद
हल-
(1 – x)-n के प्रसार में व्यापक पद
चौथा पद ज्ञात करने के लिए r = 3 रखने पर
(ii) (1 + x)5/2 का सातवाँ पद
हल-
(1 + x)n के प्रसार में व्यापक पद
सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए r = 6 रखने पर
(iii) (1 + 2x)-1/2 का आठवाँ पद
हल-
(1 + x)-n का व्यापक पद
आठवाँ पद ज्ञात करने के लिए r = 7 लेने पर
प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रसारों का व्यापक पद ज्ञात कीजिए।
(i) (a3 – x3)2/3
हल-
(a3 – x3)2/3
(ii) (1 – 2x)-3/2
हल-
(1 – 2x)-3/2
हम जानते हैं
(iii) (1 – x)p/q
हल-
(1 – x)p/q
हम जानते हैं (1 – x)-n का व्यापक पद
प्रश्न 4.
यदि x < 3 हो, तो (3 – x)-8 के प्रसार में x5 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है- x < 3
प्रश्न 5.
(a + 2bx2)-3 के प्रसार में x6 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्न 6.
\(\frac { { 1+3x }^{ 2 } }{ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \) के प्रसार में x10 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल :
\(\frac { { 1+3x }^{ 2 } }{ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \)
(1 + 3x²)(1 – x²)-3
(1 + 3x²)(1 + 3x² + 6(x²)² + 10(x²)3 + 15(x²)4 + 21(x²)5 + ……
(1 + 3x2)(1 + 3x2 + 6x4 + 10x6 + 15x8 + 21x10 + …..)
x10 के गुणांक का मान निकालने पर,
21 + 3 x 15 = 21 + 45 = 66
प्रश्न 7.
(1 – 2x + 3x² – 4x³ +….)n के विस्तार में xr का गुणांक ज्ञात कीजिए तथा यदि x = \(\frac { 1 }{ 2 }\) और n = 1 हो, तो व्यंजक का मान लिखिए।
हल-
माना S = 1 – 2x + 3x² – 4x³ + ……
xS = x – 2x² + 3x³ + ……
दोनों को जोड़ने पर
S(1 + x) = 1 – x + x² – x³ + ………
प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए
(1 + x + x² + x³ + ……)² = 1 + 2x + 3x² + ……
हल-
L.H.S.
(1 + x + x² + x³ + ……)²
= [(1 – x)-1]2 ∵ (1 – x)-1 = 1 + x + x² + x³ + ….. ∞
= (1 – x)-2
= 1 + 2x + 3x² + ……… ∞
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए (1 + x + x² + x³ + …….∞)(1 + 3x + 6x² + ……∞) = (1 + 2x + 3x² + ……∞)²
हल-
L.H.S.
(1 + x + x² + x³ + …….∞)(1 + 3x + 6x² + ……∞) = (1 – x)-1 x (1 – x)-3
प्रसार से हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
= (1 – x)-4 = ((1 – x)-2)2
मान रखने पर
= (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + …….∞)2 = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.
प्रश्न 10.
यदि x = 2y + 3y2 + 4y3 +…… है, तो y को x की आरोही घातों की श्रेणी के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल-
दिया गया है
x = 2y + 3y2 + 4y3 + ………
दोनों तरफ 1 जोड़ने पर
(1 + x) = 1 + 2y + 3y2 + 4y3 + ……..
(1 + x) = (1 – y)-2
या (1 – y) = (1 + x)-1/2
या y = 1 – (1 + x)-1/2
