Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
\({ \left( \frac { a }{ x } +bx \right) }^{ 12 }\) के विस्तार में कुल पदों की संख्या है
(A) 11
(B) 13
(C) 10
(D) 14
हल :
(B)
प्रश्न 2.
\({ \left( \frac { 1 }{ 2 } +a \right) }^{ 8 }\) के विस्तार में 7 वाँ पद है
हल :
(C)
प्रश्न 3.
(a – x)8 के प्रसार में मध्य पद है
(A) 56a3x5
(B) -56a3x5
(C) 70a4x4
(D) -70a4x4
हल :
(C)
प्रश्न 4.
\({ \left( 2x+\frac { 1 }{ { 3x }^{ 2 } } \right) }^{ 9 } \) के प्रसार में अचर पद है
(A) पाँचवाँ
(B) चौथा
(C) छठवाँ
(D) सातवाँ
हल :
(B)
प्रश्न 5.
(x + a)n के प्रसार में व्यापक पद है
(A) nCr xn-r . ar
(B) nCr xr . ar
(C) nCn-r xn-r . ar
(D) nCn-r xr . an-r
हल :
(A)
प्रश्न 6.
\({ \left( { 2x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 12 }\) के विस्तार में x रहित पद का मान है
(A) 264
(B) -264
(C) 7920
(D) -7920
हल :
(C)
प्रश्न 7.
\({ \left( { x }^{ 4 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 15 }\) के प्रसार में x-17 का गुणांक है
(A) 1365
(B) -1365
(C) 3003
(D) -3003
हल :
(B)
प्रश्न 8.
यदि (1 + x)18 के प्रसार में (2r + 4) वें तथा (r – 2) वें पदों के गुणांक बराबर हों, तब r का मान है
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
हल :
(B)
प्रश्न 9.
यदि (a + b)n तथा (a + b)n+3 के प्रसार में क्रमशः दूसरे एवं तीसरे एवं चौथे पदों का अनुपात बराबर हो, तो n का मान है
(A) 5
(B) 6
(C) 3
(D) 4
हल :
(A)
प्रश्न 10.
यदि (1 + x)2n के विस्तार में 3r वें तथा (r + 2) वें पदों के गुणांक बराबर हो, तो
(A) n = 2r
(B) n = 2r – 1
(C) n = 2r + 1
(D) n = r + 1
हल :
(A)
प्रश्न 11.
\({ \left( { 2x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ { x } } \right) }^{ 10 }\) के विस्तार में x रहित पद का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।
Tr+1 = (-1)r 10Cr (2)10-r . x20-2r . x-2r
= (-1)r 10Cr (2)10-r . x20-4r
x रहित पद के लिए 20 – 4r = 0 ∴ r = 5
T6 = (-1)5 10C5 (2)10-5 = – 10C5 x (2)5 = -8064
प्रश्न 12.
सरलीकरण के पश्चात् (x + a)200 + (x – a)200 के प्रसार में पदों की संख्या लिखिये ।
हल-
हम जानते हैं
(x + a)n = xn + nC1 xn-1 a + nC2 xn-2 a2 + …..
(x + a)n = xn – nC1 xn-1 a + nC2 xn-2 a2 – …..
(x + a)200 के प्रसार में कुल पदों की संख्या 201 होगी जिसमें 101 पद विषम होंगे और 100 पद सम होंगे। माना विषम पद P और सम पद Q हैं।
(x + a)200 = P + Q
इसी तरह से
(x – a)200 = P – Q
जोड़ने पर
(x + a)200 + (x – a)200 = 2P = 2 (सम पदों की संख्या)
अर्थात् पदों की संख्या = 101 होगी।
प्रश्न 13.
यदि (1 + x)n के प्रसार में C0, C1, C2 ,…… Cn विभिन्न पदों के गुणांक हों, तब C0 + C2 + C4 …… का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
हम जानते हैं
(1 + x)n = C0 + C1x + C2x2 + C3x3 + ….. + Cnxn
प्रसार में x = 1 रखने पर।
(1 + 1)n = C0 + C1 + C2 + C3 + ……. + Cn
⇒ 2n = C0 + C1 + C2 + C3 + ……. + Cn ….(1)
अब प्रसार में x = -1 रखने पर
(1 – 1)n = C0 – C1 + C2 – C3 + ……. + (-1)n Cn
0 = C0 – C1 + C2 – C3 + ……. + (-1)n Cn….(2)
समीकरण (1) तथा (2) का योग करने पर
2(C0 + C2 + C4 + …..) = 2n
⇒ C0 + C2 + C4 + ….. = 2n-1
प्रश्न 14.
30C1 + 30C2 + 30C3 +….. + 30C30 का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
चूँकि nC0 + nC1 + nC2 + ….. + nCn = 2n
यहाँ पर n = 30 रखने पर
30C0 + 30C1 + 30C2 + ….. + 30C30 = 230
⇒ 1 + 30C1 + 30C2 + 30C3 + ….. + 30C30 = 230 ∵ 30C0 =1
∴ 30C1 + 30C2 + 30C3 + ….. + 30C30 = 230 -1
प्रश्न 15.
\({ \left( \frac { a }{ x } +\frac { x }{ a } \right) }^{ 10 }\) के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हल-
मध्य पद = \(\frac { 10 }{ 2 }+1\) = \(\frac { 10+2 }{ 2 }\) = 6 वाँ पद
हम जानते हैं
= 252
प्रश्न 16.
(1 + 2x)6 (1 – x)7 के प्रसार के गुणनफल में x5 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
द्विपद प्रमेय के आधार पर
(1 + 2x)6 = 6C0 + 6C1 (2x)1 + 6C2 (2x)2 + 6C3 (2x)3 + 6C4 (2x)4 + 6C5 (2x)5 + 6C6 (2x)6
= 1 + 6 (2x) + 15 (4x2) + 20 (8x3) + 15 (16x4) + 6 (32) (5)5 + 64x6
= 1+ 12x + 60x2 + 160x3 + 240x4 + 192x5 + 64x6
इसी प्रकार
(1 – x) = 7C0 – 7C1 x1 + 7C2 x2 – 7C3 x3 +7C4 x4 – 7C5 x5 + 7C6 x6 – 7C7 x7
= 1 – 7x + 21x2 – 35x3 + 35x4 – 21x5 + 7x6 – x7
अतः प्रश्नानुसार (1 + 2x)6 . (1 – x)7
= (1 + 12x + 60x2 + 160x3 + 240x4 + 192x5 + 64x6). (1 – 7x + 21x2 – 35x3 + 35x4 – 21x5 + 7x6 – x7)
इनके गुणनफल में से x5 वाले पदों को लेने पर
1. (-21x5) + (12x) (35x4) + (60x2) (-35x2) + (160x3) (21x2) + (240x4) (-7x) + (192x5). 1
अत: x5 वाले पदों का गुणांक = (-21) + (12) (35) + (60) (-35) + (160) (21) + (240) (-7) + 192
= – 21 +420 – 2100 + 3360 – 1680 + 192
= 3972 – 3801
= 171
प्रश्न 17.
यदि (1 + x)2n के प्रसार में दूसरे, तीसरे और चौथे पदों के गुणांक समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि 2n2 – 9n + 7 = 0
हल-
(1 + x)2n = 1+ 2nC1x + 2nC2x2 + 2nC3x3 +…..
दूसरे पद का गुणांक = 2nC1
तीसरे पद का गुणांक = 2nC2
चौथे पद का गुणांक = 2nC3
उपरोक्त पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हैं।
⇒ 6(2n – 1) = 6 + (2n – 1)(2n – 2)
⇒ 6(2n – 1) – (2n – 1)(2n – 2) = 6
⇒ (2n – 1)(6 – 2n + 2) = 6
⇒ (2n – 1)(8 – 2n) = 6
⇒ 2(2n – 1)(4 – n) = 6
या (2n – 1)(4 – n) = 3
या 8n – 2n² – 4 + n = 3
या 2n² – 9n + 7 = 0 इतिसिद्धम्
प्रश्न 18.
\({ \left( 1+\frac { x }{ 2 } -\frac { 2 }{ x } \right) }^{ 4 }\) x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल-
अब
का प्रसार करने पर
