Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.1
प्रश्न 1.
निम्न अनुक्रमों में से कौनसे अनुक्रम स.श्रे. में हैं ?
(i) 2, 6, 11, 17,……..
(ii) 1, 1.4, 1.8, 2.2, ……..
(iii) -7, -5, -3, -1, ……..
(iv) 1, 8, 27, 64, ……
हल-
(i) संख्या 6, पूर्व संख्या 2 से 4 अधिक जबकि संख्या 11 पूर्व संख्या 6 से 5 अधिक है। इसलिए (i) समान्तर श्रेढी में नहीं है।
(ii) समान्तर श्रेढी में है। चूंकि प्रत्येक संख्या अपनी पूर्व संख्या से 0.4 अधिक है। इसलिए समान्तर श्रेढ़ी में है।
(iii) समान्तर श्रेढ़ी में है। चूंकि प्रत्येक संख्या अपनी पूर्व संख्या से 2 अधिक है।
(iv) समान्तर श्रेढी में नहीं है। चूंकि सार्वअन्तर समान नहीं है।
प्रश्न 2.
उन अनुक्रमों के प्रथम पद, सार्वअन्तर तथा 5 वें पद ज्ञात कीजिए, जिनके n वें पद निम्नलिखित हैं
(i) 3n + 7
(ii) a + (n – 1)d
(iii) 5 – 3n
हल-
(i) दिया है
Tn = 3n + 7
n = 1, 2, 3 रखने पर
T1 = 3 × 1 + 7 = 3 + 7 = 10
T2 = 3 × 2 + 7 = 6 + 7 = 13
T3 = 3 × 3 + 7 = 9 + 7 = 16
प्रथम पद (a) = 10, सार्वअन्तर d = 13 – 10 = 3
5 वें पद् T5 = 3 × 5 + 7 = 15 + 7 = 22
(ii) Tn = a + (n – 1)d
n = 1, 2, 3 रखने पर
T1 = a + (1 – 1)d = a + 0 = a
T2 = a + (2 – 1)d = a + d
T3 = a + (3 – 1)d = a + 2d
प्रथम पद = a, सार्वअन्तर = a + 2d – a – d = d
और T5 = a + 4d
(iii) Tn = 5 – 3n
n = 1, 2, 3 रखने पर।
T1 = 5 – 3 × 1 = 5 – 3 = 2
T2 = 5 – 3 × 2 = 5 – 6 = – 1
T3 = 5 – 3 × 3 = 5 – 9 = – 4
प्रथम पद = 2, सार्वअन्तर d = -3
और T5 = 5 – 3 × 5 = 5 – 15 = -10
प्रश्न 3.
दर्शाइए कि निम्नलिखित n वें पदों वाले अनुक्रम स. श्रे. नहीं है।
(i) \(\frac { n }{ n+1 }\)
(ii) n² + 1
हल-
(i) यहाँ दिया है
यह अन्तर n पर निर्भर है। अतः अनुक्रम स. श्रे. नहीं है।
(ii) यहाँ दिया है।
Tn = n² + 1
n के स्थान पर (n + 1) रखने पर
Tn+1 = (n + 1)² + 1 ⇒ n² + 2n + 2
Tn+1 – Tn = n² + 2n + 2 – n² – 1
= 2n + 1
यह अन्तर n पर निर्भर है। अतः अनुक्रम स. श्रे. नहीं है।
प्रश्न 4.
समान्तर श्रेढ़ी 2 + 5 + 8 + 11 +…….. का कौनसा पद 65 है?
या
हल-
दी गयी समान्तर श्रेढी
2 + 5 + 8 + 11 + …..
प्रथम पदं a = 2, सार्वअन्तर d = 5 – 2 = 3
अन्तिम पद l = 65, पदों की संख्या (n) = ?
अन्तिम पद l = Tn = a + (n – 1)d
मान रखने पर।
65 = 2 + (n – 1) × 3
यो 65 – 2= (n – 1) × 3
या 63 = (n – 1) × 3
या \(\frac { 63 }{ 3 }\) = (n – 1)
या 21 = (n – 1)
∴ n = 21 + 1 = 22
अतः 22वाँ पद 65 होगा।
प्रश्न 5.
समान्तर श्रेढ़ी 4 +9+ 14 + 19 +……… + 124 के अन्त से 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गयी समान्तर श्रेढी
4 + 9 + 14 + 19 +……… + 124
सार्वअन्तर (d) = 9 – 4 = 5
∵ अन्त से nवाँ पद = l – (n – 1)d होता है।
अतः अन्त से 13वाँ पद = 124 – (13 – 1) × 5
= 124 – 12 × 5.
= 124 – 60 = 64
प्रश्न 6.
यदि समान्तर श्रेढी 2 + 5 + 8 + 11 +……… की अन्तिम पद 95 हो, तो श्रेढ़ी के पदों की संख्या ज्ञात कीजिये।
हल-
दी गयी समान्तर श्रेढी
2 + 5 + 8 + 11 + ……..
अन्तिम पद l = 95, n = ?
प्रथम पद (a) = 2, सार्वअन्तर (d) = 5 – 2 = 3
T = a + (n – 1)d
95 = 2 + (n – 1) × 3
95 – 2 = (n – 1) × 3
93 = (n – 1) × 3
\(\frac { 93 }{ 3 }\) = (n – 1)
31 = n – 1 ⇒ n = 31 + 1 = 32
अतः पदों की संख्या = 32
प्रश्न 7.
यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का 9वाँ पद शून्य है, तो सिद्ध कीजिए कि 29वाँ पद, 19वें पद का दुगुना होता है।
हल-
दिया है
9वाँ पद शून्य है।
0 = a + (9 – 1)d ∵ Tn = a + (n – 1)d
a + 8d = 0 ….(1)
T29 = a + (29 – 1)d
T29 = 1 + 28d….(2)
T19 = + (19 – 1)d
T19 = a + 18d ….(3)
समी. (1) से a = -8d
∴ T29 = -8d + 28d = 20d ….(4)
और T19 =-8d + 18d = 10d ……(5)
समी. (4), समी. (5) का दुगुना है, अतः 29वाँ पद, 19वें पद का दुगुना है। इतिसिद्धम्
प्रश्न 8.
3 से विभाज्य दो अंकों वाली प्राकृत संख्याएँ कितनी हैं ?
हल-
3 से विभाज्य दो अंकों वाली प्राकृत संख्याएँ निम्न होंगी
3 + 6 + 9 + 12 + 15 +………… 99
प्रथम पद (a) = 3, सार्वअन्तर d = 6 – 3 = 3
अन्तिम पद् Tn = 99
Tn = a + (n – 1)d
99 = 3 + (n – 1) × 3
99 – 3 = (n – 1) × 3
\(\frac { 96 }{ 3 }\) = (n – 1)
32 = n – 1 ⇒ n = 32 + 1 = 33
अतः 3 से विभाज्य दो अंकों वाली प्राकृत संख्याएँ 33 होंगी।
प्रश्न 9.
यदि किसी स. श्रेणी का pवाँ पद q तथा धुवाँ पद p हों, (p + q)वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार दिया है
Tp = q
Tq = P
Tp+q = ?
प्रश्नानुसार q = (d + (p – 1)d …..(1)
p = a + (q – 1)d …..(2)
समी. (1) में से (2) घटाने पर।
q – p = d(p – 1 – q + 1)
q – p = (p – q)
∴ \(d=\frac { (q-p) }{ (p-q) }=-1\)
d का मान समी. (1) में रखने पर
q = a + (p – 1)
q = a + (p – 1) × (-1)
या q = a – p + 1
∴ a = q + p – 1
Tp+q = a + (p + q – 1)d ….(3)
समी. (3) में a तथा d का मान रखने पर
Tp+q = q + p – 1 + (p + q – 1) × (-1)
= q + p – 1 – p – q + 1
Tp+q = 0 (शून्य)
प्रश्न 10.
यदि किसी स. श्रे. का pवाँ पद \(\frac { 1 }{ q }\) तथा qवाँ पद \(\frac { 1 }{ p }\) हो, तो सिद्ध कीजिए pqवाँ पद इकाई है।
हल-
दिया है- Tp= \(\frac { 1 }{ q }\), Tq = \(\frac { 1 }{ p }\)
सिद्ध करना है- Tpq = 1
प्रश्नानुसार, Tp = a + (p – 1)d
\(\frac { 1 }{ q }\) = a + (p – 1)d …(1)
Tq = a + (q – 1)d
अतः Tpq = 1
अतः pqवाँ पद इकाई है। इतिसिद्धम् ।