RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.2

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित श्रेढ़ियों को योगफल ज्ञात कीजिए
(i) 7 + 11 + 15 + 19 + ……. 20 पदों तक।

हल-
(i) दिया है
a = 7, सार्वअन्तर d = 11 – 7 = 4
पदों की संख्या (n) = 20

प्रश्न 2.
1 से 101 तक के विषम पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से विभाज्य है।
हल-
1 से 101 तक 3 से विभाज्य पूर्णांक निम्न होंगे—
3 + 6 + 9 + 12 + ……. 99
दिया है— a = 3, d = 6 – 3 = 3
l = a_n = 99 और S_n = ?
∴ a_n = a + (n – 1)d
99 = 3 + (n – 1) × 3
99 = 3 + 3n – 3
99 = 3n ∵ \(n\frac { 99 }{ 3 }=33\)
इसलिए S₃₃ = \(\frac { 33 }{ 2 }(3+99)\) = \(\frac { 33\times 102 }{ 2 }\)
= 33 x 51
S₃₃ = 1683

प्रश्न 3.
उस स. श्रे. के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका r वाँ पद 2r + 3 है।
हल-
दिया है–T_r = 2 + 3, r = 1, 2, 3, ……
T₁ = 2 x 1 + 3 = 2 + 3 = 5
T₂ = 2 x 2 + 3 = 4 + 3 = 7
T₃ = 2 x 3 + 3 = 6 + 3 = 9
T₄ = 2 x 4 + 3 = 8 + 3 = 11
5 + 7 + 9 + 11 + …….. n पद
इसलिए a = 5, a = 7 – 5 = 2

प्रश्न 4.
किसी स. श्रे. के n पदों का योगफल n² + 2n है। प्रथम पद तथा सार्वअन्तर ज्ञात कीजिये।
हल-
दिया है– S_n = n² + 2n
S_n-1 = (n – 1)² + 2(n – 1)
= n² – 2n + 1 + 2n – 2
S_n-1 = n² -1
हम जानते हैं- T_n = S_n – S_n-1
= n² + 2n – (n² – 1)
= n² + 2n – n² + 1 = 2n + 1
T_n = 2n + 1
n = 1, 2, 3, …… रखने पर।
T₁ = 2 x 1 + 1 = 3
T₂ = 2 x 2 + 1 = 5
T₃ = 2 x 3 + 1 = 7
अतः श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 3
और सार्वअन्तर d = 5 – 3 = 2

प्रश्न 5.
यदि स. श्रे. 1, 6, 11, ….. के n पदों का योगफल 148 है, तो पदों की संख्या तथा अन्तिम पद ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है
a = 1, d = 6 – 1 = 5, S_n = 148,
n = ?, a_n = ?
हम जानते हैं- S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)(2n + (n – 1)d)
148 = \(\frac { n }{ 2 }\)(2 x 1 + (7 – 1) x 5)
या 148 x 2 = n(2 + 5n – 5)
या 296 = n(5n – 3)
या 5n² – 3n – 296 = 0
गुणनखण्ड करने पर
5n² – 40n + 37n – 296 = 0
5n(n – 8) + 37(n – 8) = 0.
(5n + 37) (n – 8) = 0
∴ n = 8, \(\frac { -37 }{ 5 }\)
n का मान पूर्णांक होता है। इसलिए n ≠ \(\frac { -37 }{ 5 }\) ∴ n = 8
∴ a₈ = a + (8 – 1)d
a₈ = a + 7d = 1 + 7 x 5
= 1 + 35 = 36
अतः पदों की संख्या n = 8
और अन्तिम पद a₈ = 36

प्रश्न 6.
यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के p पदों का योगफल तथा q पदों का योगफल समान है, तो (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
अतः
प्रथम 2 पदों का योगफल = \(\frac { p }{ 2 }\)[2a+(p – 1)d] ….(i)
तथा प्रथम q पदों का योगफल = \(\frac { q }{ 2 }\)[2a+(q – 1)d) ….(ii)
प्रश्नानुसार p पदों का योगफल = q पदों का योगफल
अर्थात् \(\frac { p }{ 2 }\)[2a+(p – 1)d) = \(\frac { q }{ 2 }\)[2a+(q – 1)d]
2ap + p (p – 1) d = 2aq + q (q – 1) d
या 2a (p – q) + [p (p – 1) – q (q – 1)] d = 0
या 2a (p – q) + [(p² – q²) – (p – q)] d = 0
या 2a (p – q) + (p – q) [p + q – 1)] d = 0
p – q से भाग देने पर
2 + (p + q- 1) d = 0 ….(iii)

= 0 इतिसिद्धम्

प्रश्न 7.
यदि किसी स. श्रे. के n, 2n, 3n पदों का योगफल क्रमशः S₁, S₂, तथा S₃ हों, तो सिद्ध कीजिए कि S₃ = 3(S₂ – S₁) होगा।
हल-
माना स. श्रे. का प्रथम पद a है तथा सार्वअन्तर d है। अतः।
प्रश्नानुसार

प्रश्न 8.
यदि n पदों वाली m समान्तर श्रेढ़ियों के योगफल S₁, S₂, S₃, ……, S_m हैं। इनके प्रथम पद क्रमशः 1, 2, 3, ……, m तथा सार्वअन्तर क्रमशः 1, 3, 5, ……, (2m – 1) है, तो सिद्ध कीजिए
S₁ + S₂ + S₃ + ….. + S_m = \(\frac { mn }{ 2 }\)(mn + 1)
हल-
समान्तर श्रेढ़ियों के प्रथम पद a क्रमशः = 1, 2, 3, …… m तथा
सार्वअन्तर d क्रमशः 1, 3, 5, …….. 2m – 1
पदों की संख्या = n
हमें ज्ञात करना है-S₁ + S₂ + S₃ + …… S_m

प्रश्न 9.
यदि किसी स. श्रे. के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए

हल-
माना कि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद A तथा सार्वअन्तर D है, तब

दोनों पक्षों में (q – r) से गुणा करने पर

समीकरण (i), (ii) व (iii) को जोड़ने पर

प्रश्न 10.
स. श्रे. में वे तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योगफल 12 है। तथा उनके धनों का योगफल 408 है।
हल-
समान्तर श्रेढ़ी में तीन संख्याएँ निम्न होंगी
a – d, a, a + d
प्रश्नानुसार
a – d + a + a + d = 12
या 3a = 12
∴ a = \(\frac { 12 }{ 3 }\) = 4
(4 – d)³ + a³ + (a + d)³ = 408
a का मान रखने पर
(4 – d)³ + (4)³ + (4 + d)³ = 408
(4 – d)³ + (4 + d)³ = 408 – 64 = 344
(4)³ – d³ – 12d(4 – d) + (4)³ + d³ + 12d(4 + d) = 344
64 + 64 – 12d(4 – 4 – 4 – d) = 344
12d² + 12d x 2d = 344
12d² = 344 – 128
24d² = 216
d² = \(\frac { 216 }{ 24 }\) = 9 ∴ d = ±3
अतः समान्तर श्रेढ़ी में तीन संख्याएँ निम्न होंगी
4 – 3, 4, 4 + 3
अर्थात् 1, 4, 7 जबकि d धनात्मक लेते हैं।
या 7, 4, 1, जबकि d ऋणात्मक लेते हैं।

प्रश्न 11.
यदि 1 तथा 51 के मध्य n स.मा. इस प्रकार प्रविष्ट किये गये हों कि चौथे तथा सातवें समान्तर माध्य का अनुपात 3 : 5 है, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि 1 तथा 51 के बीच n संख्याएँ क्रमशः A₁, A₂, A₃, …….., A_n हैं अतः समान्तर श्रेढ़ी जो प्राप्त होगी
1, A₁, A₂, A₃, …………, A_n 51
यहाँ पर a = 1, T_n+2 = 51
T_n+2 = a + (a + 2 – 1)d
या 51 = a + (a + 1)
या 51 = 1 + (n + 1)d
∴ \(d=\frac { 50 }{ n+1 }\)
A₄ = a + 4d = 1 + 4 x \(\frac { 50 }{ n+1 }\)

या 5n + 1005 = 3n + 1053
या 2n = 1053 – 1005 = 48
∴ n = 24

प्रश्न 12.
यदि x, y, z स. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए
(i) y + z, z + x, x + y स. श्रे. में हैं।

हल-
(i) यदि x, y, z स. श्रे. में हैं, तब हमें सिद्ध करना है कि
y + z, z + x, x + y स. श्रे. में होंगे।
y + z, z + x, x + y A.P. में हैं।
∴ (z + x) – (y + z) = (x + y) – (z + x)
या z + x – y – z = x + y – z – x
या x – y = y – z
या 2y = x + z
अर्थात् x, y, z स. श्रे. में है। इतिसिद्धम्

प्रश्न 13.
यदि x²(y + z), y²(z + x), z²(x + y) स. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि या तो x, y, z स. श्रे. में हैं या xy + yz + zx = 0 होगा।
हल-
x²(y + z), y²(z + x), z²(x + y) A.P में हैं।
∴ y²(z + x) – x²(y + z) = z²(x + y) – y²(z + x)
⇒ y²z + y²x – x²y – x²z = z²x + z²y – y²z – y²x
⇒ y²z – x²z + xy(y – x) = z²x – y²x + zy(z – y)
⇒ z(y² – x²) + xy(y – x) = x(z² – y²) + zy(z – y)
⇒ (y – x)(y + x) + xy(y – x) = x(z – y)(z + y) + zy(z – y)
⇒ (xy + yz + zx)(y – x) = (z – y)(xy + yz + zx)
⇒ (xy + yz + zx)(y – x) – (z – y)(xy + yz + zx) = 0
⇒ (xy + yz + zx)(y – x – z + y) = 0
⇒ (xy + yz + zx)(2y – (x + z)) = 0
⇒ xy + yz + zx = 0
या 2y – (x + z) = 0
या 2y = x + z
अर्थात् x, y, z A.P में होंगे। इतिसिद्धम्

प्रश्न 14.
समान्तर श्रेढ़ी a₁, a₂, a₃, …….,a₃₀ का योगफल ज्ञात कीजिये, दिया हुआ है
a₁ + a₇ + a₁₀ + a₂₁ + a₂₄ + a₃₀ = 540
हल-
दिया गया है
a₁ + a₇ + a₁₀ + a₂₁ + a₂₄ + a₃₀ = 540
या a₁ + (a₁ + 6d) + (a₁ + 9d) + (a₁ + 20d) + (a₁ + 23d) + (a₁ + 29d) = 540
या 6d₁ + 87d = 540
या 3(2a₁ + 29d) = 540
या 2a₁ + 29d = \(\frac { 540 }{ 3 }\) = 180
∴ 2a₁ + 29d = 180. ….(1)
हमें मान ज्ञात करना है
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ……. + a₃₀

प्रश्न 15.
एक बहुभुज के अन्तः कोण समान्तर श्रेढ़ी में हैं। सबसे छोटा अन्त:कोण 52° तथा क्रमिक अन्त:कोणों का अन्तर 8° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-
हम जानते हैं कि n भुजाओं वाले बहुभुज के अन्त:कोणों का
योग = (2n – 4) x 90°
= 180n – 360° ….(1)
अब प्रश्नानुसार कोणों का क्रम निम्न होगा
52°, 60°, 68°,………..
यहाँ a = 52°, d = 60° – 52° = 8°
S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2 + (n – 1)d]
180n – 360 = \(\frac { n }{ 2 }\)[2 x 52 + (n – 1) x 8]
या 180n – 360 = n[52 + 47 – 4]
या 180n – 360 = n(4n + 48)
या 180n – 360= 4n(n + 12)
या 45n – 90 = n(n + 12)
या 45n – 90 = n² + 12n
या n² – 33n + 90 = 0
(n – 30)(n – 3)= 0
n = 3, 30
n = 30 सम्भव नहीं है। अतः n = 3

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