RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.6

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.6

प्रश्न 1.
उस श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये जिसका n वाँ पद है
(i) 3n² + 2n + 5
(ii) 4n³ + 7n +1
(iii) n(n + 1) (n + 2)
हल-
(i) प्रश्नानुसार
T_n = 3n² + 2n + 5
दिये हुए n पदों का योग

(ii) प्रश्नानुसार
T_n = 4n³ + 7n + 1
दिये हुए n पदों का योग

(iii) प्रश्नानुसार
T_n = n(n + 1) (n + 2)
T_n = n(n² + 3n + 2)
= n³ + 3n² + 2n
दिये हुए n पदों का योग

प्रश्न 2.
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 3² + 7² + 11² + 15² + ……….
(ii) 2³ + 5³ + 8³ + 11³ + ………..
(iii) 1.2² + 2.3² + 3.4² + ………..
हल-
(i) यहाँ पर श्रेणी का n वाँ पद T, है।
T_n = (3 + (n – 1) × 4)²
चूँकि श्रेढी समान्तर क्रम है
= (3 + 4n – 4)² = (4n – 1)²
T_n = 16n² – 8n +1

(ii) दी गयी श्रेणी का वाँ पद T, है।
T_n = [2 + (7 – 1) x 3]³
चूंकि श्रेढी समान्तर है।।
T_n = (3n – 1)³
= (3n)³ – (1)³ – 3 x 3n x 1(3n – 1)
T_n = 27n³ – 1 – 27n + 9n
T_n = 27n³ – 27n + 9n – 1

(iii) 1.2² + 2.3² + 3.4² + ………
दी गयी श्रेणी का n वाँ पद
T_n = n.[2 + (n – 1) x 1]²
∵ श्रेणी समान्तर क्रम में है।
= [n + 1]² = n(n² + 2n + 1)
T_n = n³ + 2n² + n
∴ ∑T_n = S_n = ∑n³ + 2∑n² + ∑n

प्रश्न 3.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 1.3 + 3.5 + 5.7 + ……
(ii) 1.2.4 + 2.3.7 + 3.4.10 + ………
हल-
(i) दी हुई श्रेणी दो समान्तर श्रेढ़ियों से मिलकर बनी हुई है, दोनों का अलग-अलग T_n वाँ पद निकाल कर संयुक्त श्रेणी, का T_n वाँ पद निकालने पर
T_n = (2n – 1) (2n + 1)
T_n = (2n)² – (1)² = 4n² – 1
∴ ∑T_n = S_n = 4∑n² – ∑1

(ii) दी हुई श्रेणी तीन समान्तर श्रेणियों से मिलकर बनी हुई है। तीनों का अलग-अलग T_n वाँ पद निकालकर संयुक्त श्रेणी का T_n वाँ पद निकालने पर
T_n = n(n + 1) (3n + 1)
n(3n² + 4n + 1)
T_n = 3n³ + 4n² + n
∴ ∑T_n = S_n = 3∑n³ + 4∑n² + ∑n

प्रश्न 4.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 3 + 8 + 15 + 24 + ……….
(ii) 1 + 6 + 13 + 22 + ………
हल-
(i) दी गई श्रेणी के क्रमागत पद युग्मों का अन्तर 5, 7, 9, …… स. श्रे. में है। अतः इसका n वाँ पद तथा n पदों का योगफल अन्तर विधि से ज्ञात करेंगे।
माना कि श्रेणी का n वाँ पद T_n तथा n पदों को योगफल S_n है। तब
S_n = 3 + 8 + 15 + 24 +…….. + T_n…..(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर
S_n = 3 + 8 + 15 +……. + T_n-1 + T_n ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर।
0 = 3 + {5 + 7 + 9 +……. + (n – 1) पद} – T_n
या T_n = 3 + {5 + 7 + 9 + ……. + (n – 1) पद}

= n(n + 1) (2n + 1 + 6)
S_n = n(n + 1) (2n +7)

(ii) दी गई श्रेणी के क्रमागत पद युग्मों का अन्तर 5, 7, 9, ….. स. श्रे. में है। अतः इसका n वाँ पद तथा n पदों का योगफल अन्तर विधि से ज्ञात करेंगे।
माना कि श्रेणी का n वाँ पद T_n तथा n पदों का योगफल S_n है। तब
S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + …… + T_n …..(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर।
S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + ….. + T_n-1 + T_n ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
0 = 1 + {5 + 7 + 9 +……. + (n – 1) पद}- T_n
या’ T_n = 1 + {5 + 7 + 9 + …… + (n – 1) पद्}

प्रश्न 5.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए
(i) 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) +……
(i) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) +……….
हल-
(i) दी गयी श्रेणी का नावाँ पद
T_n = 1 + 2 + 3 + 4 + ……. n पद

(ii) दी गयी श्रेणी का n वाँ पद
T_n = 1² + 2² + 3² + …….. n²

चूँकि हम जानते हैं—प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योगफल

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