Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.7
प्रश्न 1.
निम्नलिखित हरात्मक श्रेढ़ियों के सम्मुख दिया गया पद ज्ञात कीजिए
हल
(i)
∴ 2, 5, 8, 11 A.P में होंगे।
A.P का 6 वाँ पद् T6 = 4 + 5d ….(1)
यहाँ पर a = 2, d = 5 – 2 = 3
समी. (1) में मान रखने पर।
T6 = 2 + 5 x 3 = 2 + 15 = 17
अत: HP का 6वाँ पद = \(\frac { 1 }{ 17 }\) होगा।
(ii)
∴ 9, 19, 29, 39 A.P में होंगे।
A.P. का 18वाँ पद T18 = a + 17d
यहाँ पर a = 9, सार्वअन्तर d = 19 – 9 = 10
इसलिए A.P का T18 = 9 + 17 x 10
= 9 + 170 = 179
इसलिए हरात्मक श्रेढ़ी का 18वाँ पद = \(\frac { 1 }{ 179 }\) होगा।
(iii)
यहाँ पर प्रथम पद a = 14, सार्वअन्तर = \(\frac { 29 }{ 2 }-14\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
इसलिए A.P. का 10वाँ पद
T10 = 1 + 9d
a तथा d का मान रखने पर
अतः H.P. का 10वाँ पद = \(\frac { 2 }{ 37 }\)
प्रश्न 2.
निम्नलिखित ह. श्रे. के n वें पद ज्ञात कीजिए
हल-
(i)
(ii)
प्रश्न 3.
वह ह. श्रे. ज्ञात कीजिये जिसका दूसरा पद \(\frac { 2 }{ 5 }\) तथा सातवाँ पद \(\frac { 4 }{ 25 }\) है।
हल-
दिया है
HP का दूसरा पद = \(\frac { 2 }{ 5 }\)
इसलिए A.P. का दूसरा पद = \(\frac { 5 }{ 2 }\) होगा।
इसी तरह से A.P. का सातवाँ पद = \(\frac { 25 }{ 4 }\)
प्रश्नानुसार
प्रश्न 4.
यदि एक ह. श्रे. का 7वाँ पद \(\frac { 17 }{ 2 }\) एवं 11वाँ पद \(\frac { 13 }{ 2 }\) हो, तो उसका 20वाँ पद ज्ञात कीजिये।
हल-
दिया है
H.P. का 7वाँ पद = \(\frac { 17 }{ 2 }\)
तथा H.P. का 11वाँ पद = \(\frac { 13 }{ 2 }\)
इसलिये इसके संगत।
A.P. का 7वाँ पद = \(\frac { 2 }{ 17 }\) होगा।
और 11वाँ पद = \(\frac { 2 }{ 13 }\) होगा।
प्रश्नानुसार
समी. (1) में से (2) को घटाने पर।
d का मान समी. (1) में रखने पर
समान्तर श्रेढी का 20वाँ पद
इसलिए हरात्मक श्रेढ़ी का 20वाँ पद = \(\frac { 17 }{ 4 }\) होगा।
प्रश्न 5.
ज्ञात कीजिए
(i) 1 तथा \(\frac { 1 }{ 16 }\) के मध्य 4 ह.मा.
(ii) \(\frac { 1 }{ 19 }\) तथा \(\frac { 1 }{ 7 }\) के मध्य 5 ह.मा.
(iii) \(-\frac { 2 }{ 5 }\) तथा \(\frac { 4 }{ 25 }\) के मध्य एक ह.मा
हल-
(i) माना कि 1 तथा \(\frac { 1 }{ 16 }\) के मध्य ह.मा. H1, H2, H3, H4, हैं।
अतः 1, H2, H3, H4, H5, \(\frac { 1 }{ 16 }\) ह. श्रे. में हैं।
संगत स. श्रे. का प्रथम पद 1 तथा छठा पद 16 होगा।
a + 5d = 16 ….(1)
∴ 1 + 5d = 16 ⇒ 5d = 15 ⇒ d = 3
अतः 1 तथा 16 के मध्य चार स. मा. निम्नलिखित होंगे-
a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d
1 + 3, 1 + 2 x 3, 1 + 3 x 3, 1 + 3 x 4
या 4, 7, 10, 13
अत: अभीष्ट ह.मा.
होंगे।
(ii) माना कि \(\frac { 1 }{ 19 }\) तथा \(\frac { 1 }{ 7 }\) के मध्य ह. मा. H1, H2, H3, H4, H5, हैं।
अतः \(\frac { 1 }{ 19 }\), H1, H2, H3, H4, H5, \(\frac { 1 }{ 7 }\) हरात्मक श्रेढ़ी में है।
संगत समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 19,
सातवाँ पद = 7
T7 = a + 6d = 7
19 + 6d = 7
या 6d = 7 – 19 = – 12
d = \(\frac { -12 }{ 6 }\) = -2
अतः 19 तथा 7 के मध्य पाँच समान्तर माध्य निम्नलिखित हैं
a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + 5d
19 – 2, 19 – 2 x 2, 19 – 3 x 2, 19 – 4 x 2,
19 – 5 x 2
17, 15, 13, 11 तथा 9
अतः अभीष्ट हरात्मक माध्य
होंगे।
(iii) \(-\frac { 2 }{ 5 }\) तथा \(\frac { 4 }{ 25 }\) के मध्य एक ह. मा.
\(-\frac { 2 }{ 5 }\), H, \(\frac { 4 }{ 25 }\)
प्रश्न 6.
यदि ह. श्रे. का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए-
bc(q – r) + ca(r – p) + ab(p – q) = 0
हल-
दिया है
हरात्मक श्रेढ़ी के लिए।
Tp = a, Tq = b, Tr = c
यहाँ A संगत स. श्रे. का प्रथम पद तथा d सार्वअन्तर हैं।
a, b, c के मान (p – q)ab + (q – r)bc + (r – p)ac में रखने पर।
⇒ (q – r)[A + (p – 1)] + (r – p)[A + (q – 1)d] + (p – q)[A + (r – 1)d.
कोष्ठकों को हल करने पर
A[q – r + r – p + p – q] + d[(q – r) (p – 1) + (r – p) (q – 1) + (p – q) (r – 1)]
A x 0 + d[qp – q – rp + r + rq – r – pq + p + pr – p – qr + q]
A x 0 + d x 0 = 0
यहाँ प्रत्येक पद के संगत ऋणात्मक पद उपस्थित हैं।
अतः इसको मान शून्य के बराबर होता है।
∴ bc(q – r) + ca(r – p) + ab(p – q) = 0 इतिसिद्धम्।
प्रश्न 7.
यदि a, b, c ह. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि a, a – c, a – b, ह. श्रे. में होंगे।
हल-
माना
a, a – c, a – b H.P. में है।
अर्थात्
ac – bc = ab – ac
या ac + ac = ab + bc
2ac = b(a + c)
या \(b=\frac { 2ac }{ a+c }\)
अर्थात् a, b, c H.P. में होंगे । इतिसिद्धम्
प्रश्न 8.
यदि a, b, c ह. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए
हल-
L.H.S.
यहाँ पर a, b, c H.P. में हैं ∴ \(b=\frac { 2ac }{ a+c }\)
b का मान रखने पर
प्रश्न 9.
समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का ह. मो. ज्ञात कीजिये।
हल-
माना समीकरण
ax² + bx + c= 0 के मूल α तथा β हैं। इसलिए
α + β = \(-\frac { b }{ a }\)
αβ = \(\frac { c }{ a }\)
मूल α तथा β को हरात्मक माध्य
प्रश्न 10.
यदि किसी ह. श्रे. का pवाँ पद q तथा qवाँ पद p हो, तो सिद्ध कीजिये कि उसका (p + q)वाँ पद \(\frac { pq }{ p+q }\) होगा।
हल-
H.P. का pव पद = q
∴ A.P. का pवाँ पद = \(\frac { 1 }{ q }\)
H.P. का qवाँ पद = p
∴ A.P. का qवाँ पद = \(\frac { 1 }{ p }\)
प्रश्नानुसार
हमें यहाँ पर H.P. का (p + q)वाँ पद ज्ञात करना है।
इसके संगत A.P का Tp+q = a + (p + q – 1)d
a तथा d का मान रखने पर
अतः A.P. का (p + q)वाँ पद का मान = \(\frac { p+q }{ pq }\)
इसलिए HP. का (p + q)वाँ पद का मान \(\frac { pq }{ p+q }\) होगा।
इतिसिद्धम्
प्रश्न 11.
यदि समीकरण a(b – c)x² + b(c – a)x + c(a – b) = 0 के मूल समान हों, तो सिद्ध कीजिये कि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में होंगे।
हल-
दिया है—a(b – c)x² + b(c – q) + c(a – b) = 0 के मूल समान हैं। मूल समान होने के लिए विवेचक
B² – 4AC = 0
यहाँ A = a(b – c), B = b(c – a), C = c(a – b)
इसलिए [b(c – a)]² – 4a(b – c) . c(d – b) = 0
b²(c – a)² – 4ac(b – c) (d – b) = 0
b²(c² + a² – 2ac) – 4ac(ab – b² – ac + cb) = 0
b²(c² + a – 2ac) – 4a²bc + 4acb² + 4a²c² – 4ac²b = 0
b²[c² + a² – 2ac + 4ac] – 4a²cb – 4ac²b + 4a²c² = 0
b²(c + a)² – 4acb(a + c) + (2ac)² = 0
[b(c + a)] – 2(2ac)[b(a + c)] + (2ac)² = 0
[b(c + a) – 2ac]² = 0
b(c + a) – 2ac = 0
⇒ b = \(\frac { 2ac }{ a+c }\) ⇒ a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में हैं। इतिसिद्धम्
प्रश्न 12.
यदि एक छात्र अपने घर से विद्यालय 8 किमी. प्रति घं. की गति से जाता है तथा 6 किमी. प्रति घं. की गति से लौटता है, तो उसकी औसत गति ज्ञात कीजिए जबकि घर से विद्यालय की दूरी 6 किमी. है। अपने उत्तर की जाँच भी कीजिए।
हल-
यहाँ a = 8 किमी. प्रति घण्टा
तथा b = 6 किमी. प्रति घण्टा
इसलिए
सत्यापन-घर से विद्यालय 6 किमी. दूरी तय करने का समय
