Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.8
प्रश्न 1.
दो संख्याओं का स.मा. 50 तथा ह.मा. 18 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना संख्याएँ a तथा b हैं।
तब प्रश्नानुसार स.मा. = 50
∴ \(\frac { a+b }{ 2 }=50\)
या a + b = 100 …. (1)
ह.मा. = 18
∴ \(\frac { 2ab }{ a+b }=18\)
या 2ab = 18(a + b)
या ab = 9(a + b) ..(2)
समी. (1) से मान रखने पर
ab = 9 x 100 = 900
∴ ab = 900 ….(3)
हम जानते हैं
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
(a – b)² = (100)2 – 4 x 900
= 10000 – 3600 = 6400
∴ a – b = 80. ….(4)
समी. (1) तथा (4) को जोड़ने पर
a + b + a – b = 100 + 80 = 180
या 2a = 180
∴ a = 90
a का मान समी. (1) में रखने पर
90 + b = 100
∴ b = 10
अतः दी गई संख्याएँ = 90, 10 हैं।
प्रश्न 2.
यदि दो संख्याओं के ह.मा. और गु.मी. में अनुपात 12 : 13 हो, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याओं में अनुपात 4 : 9 है।
हल-
माना दो राशियाँ a व b हैं तथा उनके ह.मा. व गु.मा. क्रमशः
H व G है।
दिया है
योगान्तर अनुपात नियम से
धनात्मक चिह्न लेने पर
पुनः योगान्तर अनुपात नियम से
अतः संख्याओं का अनुपात = 9 : 4
अब ऋणात्मक चिह्न लेने पर
योगान्तर अनुपात से
अतः संख्याओं a व b का अनुपात = 4 : 9
अतः अभीष्ट संख्याओं का अनुपात = 4 : 9 या 9 : 4 होगा।
प्रश्न 3.
दो संख्याओं के स.मा. तथा गु.मा. को अन्तर 2 है, गु.मी. तथा ह.मा. का अन्तर 1.2 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना दो संख्याएँ a व b हैं तथा उनके मध्य स.मा., गु.मा. एवं
ह.मा. क्रमशः A, G व H है।
प्रश्नानुसार,
A = G + 2 ….(1)
एवं H = G – 1.2
H = G – \(\frac { 6 }{ 5 }\) …(2)
\(\frac { a+b }{ 2 }\) = A ⇒ a + b = 2A …(3)
ab = G² …(4)
समी. (1) व समी. (2) का गुणा करने पर
5G² = (G + 2)(5G – 6)
5G² = 5G² – 6G + 10G – 12
4G = 12 ⇒ G = 3
G का मान समी. (1) में रखने पर
A = 3 + 2 = 5
अब A व G के मान समी. (3) व समी. (4) में रखने पर।
a + b = 2 x 5 = 10 ….(5)
ab = (3)² = 9 ….(6)
⇒ a – b = 8 ….(7)
समी. (5) व समी. (7) को जोड़ने पर।
2a = 18 ⇒ a = 9
समी. (5) में a का मान रखने पर।
a + b = 10 ⇒ b = 1
अभीष्ट संख्याएँ 9 व 1 हैं।
प्रश्न 4.
तीन राशियाँ a, b, c गु.श्रे. में हैं तथा ax = by = cz है, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z ह.श्रे. में होंगे।
हल-
दिया है-
a, b, c गु.श्रे. में है। इसलिए
b² = ac ……(1)
तथा ax = by = cz = k (माना)
∴ a = (k)1/x
b = (k)1/y
c = (k)1/z
समी. (1) में मान रखने पर
(k1/y)2 = k1/x (k)1/z
k2/x = (k)1/x+1/z
आधार समान है। इसलिए घातें भी बराबर होंगी। इसलिए
इसलिए हम कह सकते हैं कि x, y, z ह.श्रे. में होंगे।
प्रश्न 5.
तीन राशियाँ a, b, c ह.श्रे. में हैं। सिद्ध कीजिए कि 2a – b, b, 2c – b गु.श्रे. में होंगे।
हल-
माना कि 2a – b, b, 2c – b गु. श्रे. में है। इसलिए
(b)² = (2a – b) x (2c – b) (सूत्र b² = ac से)
b² = 4ac – 2ab – 2bc + b²
2ab + 2bc = 4ac
2b(a + c)= 4ac
या b(a + c) = 2ac
या \(b=\frac { 2ac }{ a+c }\)
अतः कहा जा सकता है कि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में होंगे
जबकि 2a – b, b, 2c – b गु. श्रेढ़ी में है।
प्रश्न 6.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं, x, y, z ह.श्रे. में हैं तथा ax, by, cz गु.श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए।
हल-
दिया है 2b = a + c ….(1)
\(y=\frac { 2xz }{ x+z }\) ….(2)
b²y² = ax.cz ….(3)
सिद्ध करना है
प्रश्न 7.
दो धनात्मक राशियों a तथा b के मध्य दो स.मा. A1, A2, दो गु.मा. G1, G2, तथा दो ह.मा. H1, H2, हो, तो सिद्ध कीजिए-
(i) A1H2 = A2H1 = G1G2 = ab
(ii) G1G2 : H1H2 = (A1 + A2) : (H1 + H2)
हल-
(i) दिया है a व b के मध्य दो स.मा. A1 व A2 हैं।
a व B के मध्य दो ह.मा. H1 व H2 हैं।
a व b के मध्य दो गु.मा. हैं।
हमें सिद्ध करना है
A1H2 = A2H1 = G1G2 = ab
अब हम प्राप्त करेंगे
A1H2 = A2H1 = G1G2
(ii) L.H.S. = G1G2 : H1H2
समी. (1) व समी. (2) से
L.H.S. = R.H.S.
प्रश्न 8.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं, b, c, d गु. श्रे. में हैं तथा c, d, e ह.श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गु.श्रे. में होंगे।
हल-
दिया है- a, b, c स.श्रे. में हैं।
∴ \(b=\frac { a+c }{ 2 }\)….(1)
b, c, d गु.श्रे. में हैं।
∴ c² = bd ….(2)
c, d, e ह.श्रे. में हैं।
\(d=\frac { 2ce }{ c+e }\) ……(3)
समी. (2) में समी. (1) तथा (3) का मान रखने पर
⇒ c² + ec = ae + ce
⇒ c² = ae
अर्थात् a, c, e गु.श्रे. में होंगे। इतिसिद्धम्
प्रश्न 9.
यदि तीन राशियाँ a, b, c स.श्रे. तथा ह.श्रे. दोनों में हों, सिद्ध कीजिए कि वे गु.श्रे. में भी होंगी।
हल-
दिया है-तीन राशियाँ a, b, c स.श्रे. तथा ह.श्रे. दोनों में इसलिए प्रश्नानुसार लिखा जा सकता है|
∴ \(b=\frac { a+c }{ 2 }\) …(1)
\(b=\frac { 2ac }{ a+c }\) ….(2)
समी. (1) तथा (2) को बराबर करने पर
∴ b² = ac
अर्थात् a, b, c गु.श्रे. में भी होंगी। इतिसिद्धम्