RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
श्रेढी -4, -1, + 2, +5,….. का 10वाँ पद है
(A) 23
(B) -23
(C) 32
(D) -32
हल :
(A)

प्रश्न 2.
एक स. श्रे. का 9वाँ पद 35 तथा 19वाँ पद 75 हो, तो इसका 20वाँ पद होगा
(A) 78
(B) 79
(C) 80
(D) 81
हल :
(B)

प्रश्न 3.
श्रेढी 1, 3, 5, ……. के n पदों का योगफल है
(A) (n – 1)²
(B) (n + 1)²
(C) (2n – 1)²
(D) n²
हल :
(D)

प्रश्न 4.
यदि किसी स.श्रे. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 तथा पदों का योगफल 400 हो, तो पदों की संख्या है
(A) 8
(B) 10
(C) 16
(D) 20
हल :
(C)

प्रश्न 5.
यदि किसी स.श्रे. का तीसरा पद 18 तथा सातवाँ पद 30 है, तो उसके प्रथम 17 पदों का योगफल होगा-
(A) 600
(B) 612
(C) 624
(D) 636
हल :
(B)

प्रश्न 6.
यदि (x + 1), 3x, (4x + 2) स.श्रे. में हो, तो इस श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद होगा
(A) 14
(B) 19
(C) 24
(D) 28
हल :
(C)

प्रश्न 7.
a, b, c स.श्रे. में हैं। a तथा b का स.मा. x, b तथा c का स.मा. y हों, तो x तथा y का स.मा. होगा
(A) a
(B) b
(C) c
(D) a + c
हल :
(B)

प्रश्न 8.
किसी स.श्रे. के n पदों का योगफल 3n² + 5n है। इसका 27वाँ पद है
(A) 160
(B) 162
(C) 164
(D) 166
हल :
(C)

प्रश्न 9.
20 तथा 30 के मध्य 50 समान्तर माध्यों का योगफल है
(A) 1255
(B) 1205
(C) 1250
(D) 1225
हल :
(C)

प्रश्न 10.
गु.श्रे.

का सार्वअनुपात है

हल :
(A)

प्रश्न 11.
श्रेढ़ी 96, 48, 24, 12, …… \(\frac { 3 }{ 16 }\) में पदों की संख्या है–
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 15
हल :
(B)

प्रश्न 12.
9^1/3 × 9^1/9 × 9^1/27 ×…… ∞ का मान है
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 27
हल :
(B)

प्रश्न 13.
श्रेढ़ी

के अनन्त पदों का योगफल हैं

हल :
(C)

प्रश्न 14.
श्रेणी

के अनन्त पदों का योगफल है

हल :
(B)

प्रश्न 15.
यदि गु.श्रे. का तीसरा पद 2 है, तो उसके प्रथम पाँच पदों का गुणनफल है
(A) 4
(B) 16
(C) 32
(D) 64
हल :
(C)

प्रश्न 16.
n के किस मान के लिए व्यंजक

a तथा b के बीच गु.मा. होगा
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) \(-\frac { 1 }{ 2 }\)
हल :
(D)

प्रश्न 17.
यदि a और b के मध्य G₁ तथा G₂ दो गु.मा. हों, तो G₁G₂ का मान है
(A) √ab
(B) ab
(C) (ab)²
(D) (ab)³
हल :
(B)

प्रश्न 18.
-9 और 4 के मध्य गु.मा. है
(A) -36
(B) 6
(C) -6
(D) 36
हल :
(C)

प्रश्न 19.
श्रेढ़ी

है
(A) स.श्रे.
(B) गु.श्रे.
(C) ह.श्रे.
(D) अन्य श्रेणी
हल :
(C)

प्रश्न 20.
श्रेढ़ी

का छठा पद है

हल :
(B)

प्रश्न 21.
यदि a, b, c, d ह. श्रे. में है, तो सत्य कथन है
(A) ab > cd
(B) ac > bd
(C) ad > bc
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C)

प्रश्न 22.
दो संख्याओं का ह.मा. 4, स.मा. A तथा गु.मा. G है। यदि 2A + G² = 27 है तो संख्याएँ हैं
(A) 6, 4
(B) 8, 2
(C) 8, 6
(D) 6, 3
हल :
(D)

प्रश्न 23.
दो संख्याओं के ह.मी. तथा गु.मा. का अनुपात 12 : 13 है, तो संख्याओं का अनुपात होगा
(A) 1 : 2
(B) 2 : 3
(C) 3 : 5
(D) 4 : 9
हल :
(D)

प्रश्न 24.
यदि दो संख्याओं a तथा b के बीच स.मा., गु.मा. एवं ह.मा. क्रमशः A, G एवं H हों, तो A, G H होंगे
(A) ह.श्रे. में
(B) गु.श्रे. में
(C) स.श्रे. में
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B)

प्रश्न 25.
यदि संख्याएँ a तथा b के बीच ह.मा. H हो, तो \(\frac { H }{ a } +\frac { H }{ b } \) का मान है
(A) 2
(B) \(\frac { a+b }{ 2 }\)
(C) \(\frac { ab }{ 2 }\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A)

प्रश्न 26.
यदि a, b, c है. श्रे. में हों, तो सत्य कथन है
(A) ac = b²
(B) √ac < b
(C) a + c = 2b
(D) √ac > b
हल :
(D)

प्रश्न 27.
यदि किसी श्रेणी का nवाँ पद \(\frac { { n }^{ 2 } }{ { 3 }^{ n } } \) हो, तो अनुक्रम के प्रथम 3 पद लिखिये।
हल :

अतः अनुक्रम के तीन पद निम्न होंगे

प्रश्न 28.
श्रेढी 72, 70, 68, 66,….. का कौनसा पद 40 है ?
हल-
दिया है
प्रथम पद (a) = 72
सार्वअन्तर = 70 – 72 = (-2)
T_n = 40
T_n = a + (n – 1)d
40 = 72 + (n – 1) x (-2)
40 – 72 = (n – 1) x (-2)
\(\frac { -32 }{ -2 }\) = n – 1 ⇒ n – 1 = 16 ∴ n = 17
अतः श्रेढी का 17वाँ पद 40 है।

प्रश्न 29.
यदि एक स.श्रे. में m तथा n पदों के योगफल का अनुपात m² : n² है, तो सिद्ध कीजिए कि mवें तथा nवें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) होगा।
हल-
दिया है-


समी. (3) में m के स्थान पर (2m – 1) और n के स्थान पर (2n – 1) रखने पर

प्रश्न 30.
यदि किसी समकोण त्रिभुज की भुजाएँ स.श्रे. में हैं, तो उसकी भुजाओं की लम्बाई का अनुपात ज्ञात कीजिए।
[संकेत : (a + d)² = (a – d)² + a² ⇒ \(\frac { a }{ d }\) = 4]
हल-
माना त्रिभुज की भुजाएँ a – d, a, a +d हैं।
(a + d)² = (a – d)² + a²
a² + 2ad + d² = a² – 2ad + d² + a²
a² + 2ad + d² = 2a² – 2ad + d²
a² = 4ad
a = 4d
त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई का अनुपात

a – d : a : a + d
4d – d : 4d, 4d + d
या 3d : 4d : 5d
या 3 : 4 : 5

प्रश्न 31.
\(-\frac { 2 }{ 7 }\),a,\(-\frac { 7 }{ 2 }\) गु. श्रे. में हो तो a का मान लिखिए।
हल-
\(-\frac { 2 }{ 7 }\),a,\(-\frac { 7 }{ 2 }\) → GP में हैं।
तब

प्रश्न 32.
श्रेणी 1 – 1 + 1 – 1 +….. का n पदों तक योगफल लिखिये।
हल-
श्रेणी GP. है।

प्रश्न 33.
2^1/2 . 4^1/8 . 16^1/32……. ∞ का लिखिए।
हल-
(2)^1/2 . (2²)^1/8 . (2⁴)^1/32 ……∞
(2)^1/2. (2)^2/8. (2)^4/32……. ∞
(2)^1/2. (2)^1/4. (2)^1/8 ……. ∞
(2)^1/2+1/4+1/8 + ……. ∞

प्रश्न 34.
n के किस मान के लिए व्यंजक

दो राशियाँ a तथा b का ह.मा. होगा?
हल-
दिया है

(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹)(a + b) = 2ab(aⁿ + bⁿ)
aⁿ⁺² + a.bⁿ⁺¹ + b.aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺² = 2baⁿ⁺¹ + 2abⁿ⁺¹
⇒ aⁿ⁺² + bⁿ⁺² – abⁿ⁺¹ – baⁿ⁺¹ = 0
⇒ a(aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹) – b(aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹) = 0
⇒ (a – b) (aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹) = 0
यदि a – b = 0.
a = b जो कि सम्भव नहीं।
चूँकि a तथा b दो राशियाँ अलग-अलग हैं,
यदि aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹ = 0
aⁿ⁺¹ = bⁿ⁺¹

आधार समान हैं। घातें भी बराबर होंगी।
अर्थात् n + 1 = 0 ∴ n = -1

प्रश्न 35.
यदि a तथा b के स.मा. और ह.मा. क्रमशः A तथा H हों, तो सिद्ध कीजिए–

हल-
दिया a तथा b का समान्तर माध्य A है।
∴ \(A=\frac { a+b }{ 2 }\) ….(1)
a तथा b का हरात्मक माध्य H है।

अतः L.H.S. = R.H.S. इतिसिद्धम्
अथवा IInd Method :
माना a व b का गु.मा. G है।
G² = ab
∴ AH = G² [∵ G A व H का गुणोत्तर माध्य होता है।]
AH = ab

प्रश्न 36.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं और b, c, d ह.श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि ad = bc होगा।
हल-
a, b, c → A.P में है।
∴ \(b=\frac { a+c }{ 2 }\) …(1)
b, c, d → H.P. में है।
\(c=\frac { 2bd }{ b+d }\) ….(2)
∴ \(bc=\frac { a+c }{ 2 } .\frac { 2bd }{ b+d } \)
या bc(b + d) = (a + c) . bd
या c(b + d) = (a + c). d
या bc + cd = ad + c . d
या bc = ad इतिसिद्धम्

प्रश्न 37.
यदि a + b + …. + l गुणोत्तर श्रेढ़ी में है, तो सिद्ध कीजिये इसका योग = \(\frac { bl-{ a }^{ 2 } }{ b-a } \)
हल-
a + b + …… + l GP. में हैं।
n वाँ पद

इतिसिद्धम्

प्रश्न 38.
अनुक्रम 3, 33, 333, …… के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल-
माना
S_n = 3 + 33 + 333 + …… n पद
S_n = 3[1 + 11 + 111 + …… n पद]

प्रश्न 39.
अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16, 32 तथा अनुक्रम 32, 8, 2, 1/2, 1/8, 1/32 के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम को योगफल ज्ञात कीजिए।
हल-
1 x 32 + 2 x 8 +4 x 2 + 8 x \(\frac { 1 }{ 2 }\) + 16 x \(\frac { 1 }{ 8 }\) + 32 x \(\frac { 1 }{ 32 }\)
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 63
अथवा
यदि संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम अनन्त तक है।
1 x 32 + 2 x 8 + 4 x 2 + 8 x \(\frac { 1 }{ 2 }\) + 16 x \(\frac { 1 }{ 8 }\) + 32 x \(\frac { 1 }{ 32 }\) + …..
32 + 16 + 8 +4 + 2 + 1 + ……..

S_∞ = 32 x 2 = 64

प्रश्न 40.
n का मान ज्ञात कीजिये, ताकि

a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य है।
हल-
दिया है
a तथा b के मध्य में गुणोत्तर माध्यम
है।
इसलिये

प्रश्न 41.
यदि G₁ तथा G₂, a और B के बीच दो गुणोत्तर माध्य हैं तो सिद्ध कीजिये G₁G₂ = ab
हल-
a, G₁, G₂, b → GP. में होंगे।
यहाँ पर कुल पद् = 4
प्रथम पद = a
अन्तिम पद = b

= a². \(\frac { b }{ a }\) = ab
= RHS
∴ LHS = RHS
इतिसिद्धम्

प्रश्न 42.
यदि दो संख्याओं a तथा b के बीच के समान्तर माध्ये (A.M.) तथा गुणोत्तर माध्य (GM.) में अनुपात m : n है तो सिद्ध कीजिये कि
 है।
हल-
दिया है
a व b दो राशियाँ हैं।
इनके बीच समान्तर माध्य (A.M.) = \(\frac { a+b }{ 2 }\)

अब, उपर्युक्त में योगान्तरानुपात का प्रयोग करने पर

पुनः उपर्युक्त में योगान्तरानुपात का प्रयोग करने पर

अतः

इतिसिद्धम्

प्रश्न 43.
दो संख्याओं का स.मा. 50 तथा ह.मा. 18 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना दो संख्याएँ a व b हैं।
समान्तर माध्य (A.M.) = \(\frac { a+b }{ 2 }\)
50 = \(\frac { a+b }{ 2 }\)
या a + b = 100 ….(1)
हरात्मक माध्य (H.M.) = \(\frac { 2ab }{ a+b }\)
\(18=\frac { 2ab }{ a+b }\)
या 18(a + b) = 2ab
18 x 100 = 2ab (∵ a + b = 100, समी. (1) से)
या ab = 900 ….(2)
हम जानते हैं (a – b)² = (a + b)² – 4ab
= (100)² – 4 x 900
= 10000 – 3600 = 6400
∴ a – b = 80 ….(3)
समी. (1) तथा (3) को जोड़ने पर
2a = 180 ∴ a = \(\frac { 180 }{ 2 }\)
a = 90
a का मान समी. (1) में रखने पर
90 + b = 100 ∴ b = 10
अतः संख्याएँ 90, 10 हैं।

प्रश्न 44.
दो संख्याओं के स.मा. तथा गु.मा. को अन्तर 2 है, गु.मी. तथा ह.मा. का अन्तर 1.2 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना दो संख्याएँ a व b हैं तथा उनके मध्य स.मा., गु.मा. एवं
ह.मा. क्रमशः A, G व H है।
प्रश्नानुसार A – G = 2 ….(1)

5AH = (G + 2) (5G – 6)
5G² = 5G² – 6G + 10G – 12
4G = 12 ⇒ G = 3
G का मान समी. (1) में रखने पर
A = 3 + 2 = 5
अब A व G के मान समी. (३) व समी. (4) में रखने पर
a + b = 2 x 5 = 10 …..(5)
ab = (3)² = 9 …..(6)

⇒ a – b = 8 ……(7)
समी. (5) व समी. (7) को जोड़ने पर
2a = 18 ⇒ a = 9
समी. (5) में a का मान रखने पर
9 + b = 10 ⇒ b = 1
अतः अभीष्ट संख्याएँ 9 व 1 हैं।

प्रश्न 45.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं, x, y, z है.श्रे. में हैं तथा ax, by, cz गु.श्रे. में है, तो सिद्ध कीजिये

हल-
दिया है- 2b = a + c ….(1)
\(y=\frac { 2xz }{ x+z }\) ……(2)
b²y² = ax . cz ….(3)
सिद्ध करना है।

समी. (1) तथा (2) को गुणा करने पर

दोनों ओर का वर्ग करने पर

प्रश्न 46.
दो धनात्मक राशियों / तथा 6 के मध्य दो से.मी. A₁, A₂, दो गु.मी. G₁, G₂ तथा दो ह.मा. H₁, H₂ हो तो सिद्ध कीजिए
A₁H₂ = A₂H₁ = G₁G₂ = ab
हल-
दिया है a व b के मध्य दो स.मी. A₁ व A₂ है।

a व b के मध्य दो ह.मा. H₁ व H₂ हैं।

a वे b के मध्य दो गु.मा. हैं।

यहाँ पर A₁ व H₂ का मान रखा गया है।

इतिसिद्धम्

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