Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.1
प्रश्न 1.
परवलय y² = 4ax तथा उसके नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = 4ax तथा उसके नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्रफल x-अक्ष के सममित होता है।
अभीष्ट क्षेत्रफल= क्षेत्रफल AOA’ MA
प्रश्न 2.
वृत्त x² + y² = 4 का चित्र बनाकर इसमें y-अक्ष व x = 1 के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 4 जिसका केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या 2 है।
x = 1 पर y = √3
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल
प्रश्न 3.
वक़ y = sin x तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि 0≤x≤2π
हुल:
वक़ y = sin x तया x = 0 एवं x = 2π से घिरे क्षेत्रफल को चित्र में छायांकित किया गया है। x के विभिन्न मानों के लिए y = sin x की सारणी नीचे दी गई है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OPAO का क्षेत्रफल + क्षेत्र AQBA का शैत्रफल
= – [ – 1 – 1] + [1 – (-1)]
= – ( – 2) + (1 + 1]
= 2 + 2
= 4 वर्ग इकाई
प्रश्न 4.
वक़ y = 2√x तथा x = 0, x = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y = 2√x ⇒ y² = 4x यह एक परवलय है। इससे तथा x = 0, x = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र चित्र में छायांकित हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल APROA
= 2 x क्षेत्रफल APOA
प्रश्न 5.
y = | x |, x = -3, x = 1 ये x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
y = | x |, x = – 3, x = 1
अतः y = + x तथा y = – x
इन रेखाओं का ग्राफ इस प्रकार है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल AOLA + क्षेत्रफल POMP
प्रश्न 6.
वक़ x² = 4ay, x-अक्ष तथा रेखा x = 2 से परिंबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र x² = 4ay एक परवलय है। इसका ग्राफ इस प्रकार है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे.ABOA
प्रश्न 7.
दीर्घ वृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) से परिषद्ध तथा x-अक्ष से ऊपर की ओर स्थित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) से परिबद्ध तथा x-अक्ष से ऊपर की ओर स्थित क्षेत्रफल चित्र में छायांकित किया गया है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABCOA
= 2 x क्षे. ABOA
प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) का सम्पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) का सम्पूर्ण क्षेत्रफल चित्र में छायांकित किया गया है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABCDA
= 4 x क्षे. ABOA
= πab वर्ग इकाई।
(∵ क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है)
प्रश्न 9.
निर्देशी अक्षों व रेखा \(\frac { x }{ a } -\frac { y }{ b } =2\) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा \(\frac { x }{ a } -\frac { y }{ b } =2\) का ग्राफ इस प्रकार है
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABOA
(∵ क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है)
प्रश्न 10.
रेखाओं x + 2y = 8, x = 2,x = 4 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रपल ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा x + 2y = 8
2y = -x + 8
y = \(-\frac { 1 }{ 2 }x+4\)
इस रेखा का ग्राफ इस प्रकार है।
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल – क्षेत्रफल ABCDA
प्रश्न 11.
वक़ y = x², कोटियों x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय x² = y, x-अक्ष से सममित है।
इसका शीर्ष मूल बिन्दु O(0, 0) है।
रेखाओं x = 1, x = 2, x-अक्ष तथा वक्र x² = y से घिरा क्षेत्रफल चित्र में अयांकित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे, ABCDA
प्रश्न 12.
प्रथम चतुर्थाश में स्थित एवं y = 4x², x = 0, y = 1 तथा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
y = 4x²
⇒ x² = \(\frac { 1 }{ 4 }y\)
यह एक परवलय का समीकरण है।
अत: x = 0, y = 1, y = 4 तथा वक्र y = 4x² से घिरा त्रर्फल चित्र में याकित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABCDA
