Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.6
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए :
प्रश्न 1.
x²ydx – (x3 + y3)dy = 0
हल :
x²ydx – (x3 + y3)dy = 0
जो समघातीय हैं।
∴ y = vx रखने पर,
अब समीकरण (1) तथा (2) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 2.
हल :
अतः f(x,y) शून्य घात का समघातीयफलन है।
y = vx रखने पर, …(ii)
अब समीकरण (i),(ii) तथा (iii) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 3.
हल :
यह समघात समी. है।
y = vx रखने पर
⇒ -x = – y log x + Cy
⇒ x + Cy = y logx
प्रश्न 4.
हल :
दिया हुआ अवकल समीकरण
यह \(\frac { dy }{ dx }\) = F(x, y) के रूप का अवकल समीकरण है।
अत: F(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है। माना
समीकरण (2), (3) तथा (4) से,
समीकरण (5) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यह अवकल समीकरण (1) का व्यापक हुल है।
प्रश्न 5.
हल:
⇒ या f(λx, λy) = λ0(x, y)
अतः f(x, y) शुन्य घात का समघार्तीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 6.
(x² + y²) dx = 2xydy
हल :
(x² + y²) dx = 2xydy
अब समीकरण (1) तथा (2) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
हल :
अत: f(x, y) शून्य घात का समधी फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय हैं।
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
अवकल समीकरण (1) का अभीष्ट हुल है।
प्रश्न 8.
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0
हल :
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0
यह समघात अवकल समीकरण है।
समीकरण (1) में मान रखने पर,
यह दी हुई अवकल समीकरण का अभीष्ट हुल है।
प्रश्न 9.
हल:
यह समधातीय समी. है।
y = vx रखने पर।
यहीं अभीष्ट हल है।
प्रश्न 10.
x(x – y) dy = y(x + y) dx
हल :
x(x – y) dy = y(x + y) dx
इस समीकरण को इस प्रकार भी लिख सकते है।
यह समघातीय समीकरण है।
∴ माना y = vx, तब
