Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.7
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए
प्रश्न 1.
हल :
h तथा k इस प्रकार हैं कि
3h + 2k – 5 = 0 तथा 2h + 3k – 5 = 0
हल करने पर, h = 1, k = 1
समीकरण (1) में h व k के मान रखने पर,
यह एक समधातीय समीकरण है।
तब Y = vX
⇒ – 2 log X + log c = log (3V² + 4V + 3)
⇒ log {(3V² + 4V + 3)X²} – log C
⇒ x²[3(x²/x²) + 4(Y/X) + 3] = C
⇒ 2Y² + 4XY + 3X² = C
⇒ 3(y – 1)² + 4(y – 1)(x – 1) + 3(x – 1)² = C
⇒ 3x² + 3y² + 4xy – 10x – 10y + 10 = C
⇒ 3(x² + y²) + 4xy – 10(x + y – 1)-C
प्रश्न 2.
हल :
यहाँ
x – y = v रखने पर,
x + C = 2v + log (v + 2)
x + C = 2(x – y) + log (x – y + 2)
x – 2y + log (x – y + 2) = C,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 3.
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
हल :
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
समाकलन करने पर,
⇒ 3x + C = 2v + log (v – 1)
⇒ 3x + C = 2(2x + y) + log (2x + y – 1), [∵ v = 2x + y]
⇒ x + 2y + log (2x + y – 1) = C,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 4.
हल :
तब माना x + y = v
⇒ 1 + (dy/dx) = (dv/dx)
∴ समाकलन करने पर,
x + C = -2v – 2 log (1 – v)
या x + C + 2(x + y) + 2 log (1 – x – y) = 0 [∵ v = x + y]
या 3x + 2y + 2 log (1 – x – y) + C = 0,
यहीं अभीष्ट हल है।
प्रश्न 5.
हल :
h व k इस प्रकार हैं कि
6h – 2k – 7 = 0 तथा 2h + 3k – 6 = 0
दोनों समीकरणों को हल करने पर,
h = \(\frac { 3 }{ 2 }\) , k = 1
h व k के मान समी. (1) में रखने पर
यह एक समघातीय समीकरण है तब Y = vX रखने पर,
⇒ 2 log X = – log (3v² + 4v – 6) + log c
⇒ log X² + log (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ log X² (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ X² (3V² + 4v – 6) = c
⇒ 3Y² – 4XY + 6X²