Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.2
प्रश्न 1.
बिन्दु (5, 7, 9) से गुजरने गली उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न अक्षों के समान्तर है :
(i) X-अक्ष
(ii) Y-अक्ष
(iii) Z-अक्ष
हल :
बिन्दु A(5, 7, 9) स्थिति सदिश
(i) X-अक्ष के समान्तर जाने वाली रेखा बिंदु B(1, 0, 0) से गुजरती है, अत: बिंदु B का स्थिति सदिश
अत: वाँछित रेखा का समीकरण समीकरण
दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण माना xi + yj + zk है अतः
(ii) Y-अक्ष के समान्तर रेखा बिंदु (0, 1, 0) से गुजरती है। अतः बिंदु B की स्थिति सदिश
अतः वांछित रेखा का सदिश समीकरण
(iii) Z-अक्ष के समान्तर रेखा बिंदु (0, 0, 1) से गुरजती है। अत: बिंदु C का सदिश
अत: वांछित रेखा का सदिश समीकरण
प्रश्न 2.
सरल रेखा को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो एक बिन्दु जिसका स्थिति सदिश
है, से गुजरती है तथा सदिश
के समान्तर है। इसका कार्तीय रूप में रूपान्तरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये बिंदु का स्थिति सदिश
प्रश्न 3.
सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो संदेश
के समान्तर है और बिन्दु (5,-2, 4) से गुजरती है।
हल :
चूँकि रेखा बिंदु (5,-2, 4) से गुजरती है।
∴ बिंदु (5,-2, 4) का स्थिति सदिश
प्रश्न 4.
उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,-1, 1) से गुजरती है तथा रेखा
के समान्तर है।
हल :
दी गई रेखा
के समान्तर बिंदु (2, – 1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
क्योंकि दोनों समान्तर रेखाओं के दिक्-अनुपात एक ही होते हैं।
∴ वांछित रेखा का सदिश समीकरण
प्रश्न 5.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण
है, इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा
बिन्दु (5, -4, 6) से होकर जाती है।
दी हुई रेखा के दिक्-अनुपात 3, 7, 2 हैं।
अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण
प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो (1,2,3) से जाती है तथा
हल :
माना रेखा बिंदु (x1, y1, z1) से गुजरती है और उसके दिक्अनुपात a, b, c हैं तो रेखा का समीकरण
यहाँ पर रेखा बिंदु (1, 2, 3) से गुजरती है तथा रेखा
के समान्तर है।।
अत: रेखा के दिक्-अनुपात
से -1,7 या -2, 14, 3 होंगे।
अतः वांछित रेखा का समीकरण,
प्रश्न 7.
समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्षों के निर्देशांक A(4, 5, 10), B(2, 3, 4) और C(1,2,- 1) हैं। AB और BC के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए। D के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना मूलबिन्दु O है।
∴ बिन्दुओं A, B, C तथा D के स्थिति सदिश
(i) यदि भुजा AB पर कोई बिन्दु P(x, y, z) तथा इसका स्थिति सदिश \(\vec { r } \) हो तब भुजा AB का सदिश समीकरण
भुजा AB के कार्तीय समीकरण के लिए,
(ii) भुजा BC के लिए,
रेखा BC बिन्दुओं B(2, 3, 4) तथा C(1, 2, – 1) से जाती है।
जो BC का सदिश समीकरण है।
भुजा BC के कार्तीय समीकरण के लिए,
माना भुजा BC पर कोई बिन्दु Q(x, y, z) है जिसका स्थिति सदिश
भुजा BC को कार्तीय समीकरण है।
(iii) बिन्दु D के निर्देशांक के लिए,
माना D के निर्देशांक (x1, y1, z1) हैं।
∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः AC तथा BD के मध्य-बिन्दु सम्पाती होंगे।
प्रश्न 8.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z है। वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ से यह गुजरती है, साथ ही इसके दिक्-अनुपात तथा सदिश समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा का समीकरण
3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z
प्रश्न 9.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश
के समान्तर हैं।
हल :
∵ रेखा यदि
के समान्तर है।
∴ इसने दिक् अनुपात 3, 2, – 2 होंगे।
चूँकि रेखा 1, 2, 3 से जा रही है। अतः इसका कार्तीय समीकरण
पुनः बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण
प्रश्न 10.
बिन्दु जिसका स्थिति सदिश
है, से गुजरने व सदिश
की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु \(\vec { a } \) से गुजरने वाली रेखा का जो सदिश \(\vec { b } \) की दिशा में है, समीकरण,
प्रश्न 11.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4,-5) से जाती है और
के समान्तर हैं|
हल :
माना रेखा बिन्दु (x1, y1, z1) से गुजरती है और उसके दिक्-अनुपात a, b, c हैं, तो रेखा का समीकरण
यहाँ पर रेखा (-2, 4, 5) से जाती है तथा
के समान्तर है।
अतः रेखा के दिक्-अनुपात : 3, 5, 6.
अभीष्ट रेखा का समीकरण
प्रश्न 12.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण
इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
कातीय समीकरण
से प्रदर्शित रेखा का सदिश समीकरण
मान रखने पर।
प्रश्न 13.
भूल बिन्दु और (5,-2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हले :
मूल बिन्दु O(0, 0, 0) का स्थिति सदिश \(\vec { a } \) = \(\vec { 0 } \) तथा बिन्दु (5, – 2, 3) का स्थिति सदिश समीकरण
∴ बिन्दुओं में \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) से जाने वाली रेखा को सदिश
(ii) रेखा बिन्दु O(0, 0, 0) से होकर जाती है तथा इसके दिक्-अनुपात 5, – 2, 3 हैं।
∴ रेखा का कार्तीय समीकरण
प्रश्न 14.
बिन्दुओं (3, -2, – 5) और (3, -2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेखा बिन्दु A(3, -2, -5) तथा B(3, -2, 6) से जाती है। तब बिन्दु A(3, -2, -5) का स्थिति सदिश
तथा बिन्दु B(3, -2, 6) की स्थिति सदिश
(i) तब रेखा AB का सदिश समीकरण
(ii) रेखा बिन्दुओं A(3,-2,-5) तब B(3,-2, 6) से जाती है।
अतः रेखा AB का कार्तीय समीकरण
