Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.6
प्रश्न 1.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष के लम्ब है तथा बिन्दु (2, – 1, 3) से गुजरता है।
हल :
बिन्दु (2, – 1, 3) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x – 2) + b(y + 1) + c(z – 3) = 0
∵ समतल X अक्ष के लम्बवत है अर्थात्
b = 0, c = 0
अतः a(x – 2) + 0(y + 1) + 0(z – 3) = 0
⇒ a(x – 2) = 0
⇒ x – 2 = 0
प्रश्न 2.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष तथा बिन्दु (3, 2, 4) से गुजरता है।
हल :
बिन्दु (3, 2, 4) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x – 3) + b(y – 2) + c(z – 4) = 0 …(1)
∵समतल X अक्ष से गजरता है अतः
a = 0, d = 0 ⇒ by + cz = 0 …(2)
समी. (1) से a = 0 अतः
⇒ b(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ by – 2b + cz – 4c = 0
⇒ by + cz – 2b – 4c = 0
⇒ – 2b = c [∵ by + cz = 0 समी. (2) से]
⇒ b = – 2c
∴बिन्दु (3, 2, 4) तथा X अक्ष से गुजरने वाले से समतल का समीकरण
⇒ b(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ – 2c(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ – 2y + 4 + z – 4 = 0
⇒ 2y – z = 0
प्रश्न 3.
एक चर समतल बिन्दु (p, q, r) से गुजरता है तथा निर्देशी अक्षों को बिन्दु A, B तथा C पर मिलता है। प्रदर्शित कीजिए कि निर्देशांक समतलों के समान्तर A, B तथा C से गुजरने वाले समतलों के उभयनिष्ठ बिन्दु का बिन्दुपथ
हल :
माना समतल का समीकरण
समतल बिंदु (p, q, r) से गुजरता है।
पुनः समतल (1) निर्देशांक्षों से बिंदुओं A, B तथा C पर मिलता है।
∴ बिंदु A के निर्देशांक (α, 0, 0)
बिंदु B के निर्देशांक (0, β, 0)
तथा बिंदु C के निर्देशांक (0, 0, γ)
बिंदुओं A, B, C से जाने वाले और निर्देशांक्षों के समान्तर समतल का समीकरण
x = α …(3)
y = β ….(4)
z = γ …(5)
∴ प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ समी. (2) से
इति सिद्धम्।
प्रश्न 4.
उस समतल को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा i इसके अभिलम्ब की तरफ इकाई सदिश है।
हल :
दिया है अभिलम्ब के अनुदिश इकाई सदिश
\(\hat { n } \) = i
तथा मूल बिंदु से दूरी d = 7 इकाई
अतः समतल को सदिश समीकरण
प्रश्न 5.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा सदिश 6i + 3j – 2k इसके अभिलम्ब है।
हल :
सदिश 6i + 3j – 2k के अनुदिश इकाई सदिश
∴ समतल का सदिश समीकरण
प्रश्न 6.
समतल के समीकरण
को अभिलम्बे रूप में परिवर्तित कर इसकी मूल बिन्दु से लम्बे दूरी ज्ञात कीजिए, प्राप्त समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएं भी ज्ञात कीजिए।
या
समतल के समीकरण 3x – 4y + 12z = 5 को अभिलम्ब रूप में परिवर्तित कर इसकी मूल बिन्दु से लम्ब दूरी ज्ञात कीजिए, समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएं भी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रथम विधि :
द्वितीय विधि :
दिये गये समीकरण 3x – 4y + 12z = 5 को निरपेक्ष पद से विभाजित करने पर समतल का अभिलम्ब रूप
माना मूल बिंदु से डाले गये लम्बे की लम्बाई p तथा अभिलम्ब की दिक् कोज्याएं (dc’s) l, m, n हैं तो समतल का समीकरण
lx + my + nz = p …(1)
इस समीकरण की तुलना 3x – 4y + 12z = 5 से करने पर
प्रश्न 7.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 4 इकाई दूरी पर है तथा इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -1, 2 हैं।
हल :
समतल के अभिलम्ब पर दिक् अनुपात 2, -1, 2 हैं। अतः कोसाइन
हूँ जहाँ
तथा d = 4 इकाई
∴ समतल का समीकरण
प्रश्न 8.
समतल के समीकरण 2x – 3y + 6z + 14 = 0 से समतल का अभिलम्ब रूप ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये समतल का समीकरण
2x – 3y + 6z + 14 = 0
समतल पर अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -3, 6 हैं।
अतः अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन
समीकरण 2x – 3y + 62 + 14 = 0 को 7 से भाग देने पर
प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 13 है तथा इस लम्ब के दिक् अनुपात 4, – 3, 12 है।
हल :
समतल पर अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 4, – 3, 12 हैं अत: अभिलम्ब के दिक् कोसाइन
अतः समतल का समीकरण ax + by + cz = d से जहाँ d = 13 दिया है।
प्रश्न 10.
समतल x + y + z – 3 = 0 का इकाई अभिलम्ब सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये समतल x + y + z – 3 = 0 के दिक्-अनुपात 1, 1, 1 हैं। अतः दिक्-कोसाइन
