Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.7
प्रश्न 1.
निम्न समतलों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए
हल :
(i) समतल \(\vec { r } \).(2i – j + 2k) = 6 का अभिलम्ब 2i – j + 2k के अनुदिश और समतल \(\vec { r } \).(3i + 6j – 2k) = 9 कः अभिलम्ब 3i + 6j – 2k के अनुदिश है।
∴ समतलों के बीच कोण θ अभिलम्बों के बीच के कोण के समान
(ii) समतल \(\vec { r } \).(2i + 3j – 6k) = 5 का अभिलम्ब 2i + 3j – 6k के अनुदिश और \(\vec { r } \).(i – 2j + 2k) = 9 का अभिलम्ब i – 2j + 2k के अनुदिश है। अतः
(iii) समतल \(\vec { r } \).(i + j + 2k) = 5 का अभिलम्ब i + j + 2k के अनुदिश और \(\vec { r } \).(2i – j + 2k) = 6 का अभिलम्ब 2i – j + 2k के अनुदिश है।
प्रश्न 2.
निम्न समतलों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए
(i) x + y + 2z = 9 और 2x – y + z = 15
(ii) 2x – y + z = 4 और x + y + 2z = 3
(iii) x + y – 2z = 3 और 2x – 2y + z = 5
हल :
यदि समतल a1x + b1y + c1z + d1 = 0 तथा a2x + b2y + c2z + d2 = 0 हैं तो
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्न समतल परस्पर लम्बवत है
(i) x – 2y + 4z = 10 और 18x + 17y + 4z = 49
(ii) \(\vec { r } \).(2i – j + k) = 4 और \(\vec { r } \).( – i – j + k) = 3
हल :
समतल x – 2y + 4z = 10 तथा 18x + 17y + 4z = 49 में
a1 = 1, b1 = -2, c1 = 4 तथा a2, b2 = 17, c2 = 4
(i) समतल लम्बवत् होंगे यदि
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
L.H.S.= 1 x 18 + (-2) x 17 +4 x 4
= 18 – 34 + 16
= – 34 + 34
= 0
∴ L.H.S. = R.H.S.
(ii) हम जानते है कि समतल
तथा
परस्पर लम्बवत् होते है यदि
अतः लम्बवत् होने के लिये
(2i – j + k) . ( – i – j + k) = 0
⇒ 2 x – 1 + (- 1) x (-) + 1 x 1 = 0
⇒ – 2 + 1 + 1 = 0
0 = 0
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्।
प्रश्न 4.
यदि निम्न समतल परस्पर लम्बवत हो, तो λ का मान ज्ञात कीजिए
(i) \(\vec { r } \).(2i – j + λk) = 5 और \(\vec { r } \).(3i + 2j + 2k) = 4
(ii) 2x – 4y + 3z = 5 और x + 2y + λz = 5
हल :
(i) समतल
⇒ (2i – j + λk) . (3i + 2j + 2k) = 0
⇒ 2 x 3 + (-1) x 2 + λ x 2 = 0
⇒ 6 – 2 + 2λ = 0
⇒ 4 + 2λ = 0
⇒ λ = – 2
(ii) समतल 2x – 4y + 3z = 5 तथा x + 2y + λz = 5 में
a1 = 2, b1 = – 4, c1 = 3 तथा a2 = 1, b2 = 2, c2 = λ,
परस्पर लम्बवत् होने पर,
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
⇒ 2 x 1 + (-4) x 2 + 3 x λ = 0
⇒ 2 – 8 + 3λ = 0
⇒ – 3 + λ = 0
⇒ λ = \(\frac { 6 }{ 3 }\)
⇒ λ = 2
प्रश्न 5.
रेखा
और समतल 2x + y – 3z + 4 = 0 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतल 2x + y – 3z + 4 = 0 के अभिलम्ब सदिश \(\vec { n } \) = 2i + j – 3k तथा रेखा
के समान्तर सदिश
यदि समतल और सरल रेखा के बीच कोण θ हो तो
प्रश्न 6.
रेखा
और समतल 3x + 4 + z + 5 = 0 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतल 3x + 4y + z + 5 = 0 के अभिलम्ब सदिश 3i + 4j + k तथा रेखा
के समान्तर सदिश \(\vec { b } \) = 3i – j + 2k है। यदि समतल और रेखा के मध्य कोण 8 हो तो
प्रश्न 7.
रेखा
और समतल
के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते है कि रेखा
प्रश्न 8.
रेखा
और समतल
के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि रेखा
तथा समतल
के मध्य कोण θ का मान
प्रश्न 9.
यदि रेखा
समतल
के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा
के समान्तर सदिश
और समतल
में अभिलम्ब सदिश
है।
चूँकि दी गई रेखा, समतल के समान्तर है अतः
⇒ (2i + j + 2k).(3i – 2j + mk) = 0
⇒ 2 x 3 + 1 x – 2 x m = 0
⇒ 6 – 2 + 2m = 0
⇒ 4 + 2m = 0
⇒ m = – 2
प्रश्न 10.
यदि रेखा
समतल
के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा
के समान्तर सदिश
तथा समतल
के अभिलम्ब सदिश
चूँकि दी गई रेखा समतल के समान्तर है अतः
⇒ (2i – mj – 3k).(mi + 3j + k) = 0
⇒ 2 × m + (-m) x 3 + (-3) x 1 = 0
⇒ 2m – 3m – 3 = 0
⇒ – m – 3 = 0
⇒ m = – 3