Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.4
प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटन में से कौन-से एक यादृच्छिक चर X के लिए संभव है।
(i)
| X : | 0 | 1 | 2 |
| P(X) : | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
(ii)
| X : | 0 | 1 | 2 |
| P(X) : | 0.6 | 0.1 | 0.2 |
(iii)
| X : | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X) : | 0.1 | 0.5 | 0.2 | -0.1 | 0.3 |
हल :
(i) प्रायिकताओं का योग
= 0.4 + 0.4 + 0.2
= 1
अतः दिया गया बंटन प्रायिकता बंटन है।
(ii) प्रायकिताओं का योग = 0.6 + 0.1 + 0.2
= 0.9 ≠ 1
अतः दिया गया बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) यहाँ पर एक प्रायिकता P(3) = – 0:1 है जो ऋणात्मक है।
अतः यह बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
प्रश्न 2.
दो सिक्कों के युगपत उछाल में चित्तों की संख्या को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
X के सम्भव मान 0, 1 या 2 हैं।
अब P(X = 0) = P(कोई चित्त नहीं)
= P(पहली उछल में पट और दूसरी उछल से पट)
= P(पहली उछल में पट), P(दूसरी उछल में पट)
प्रश्न 3.
चार खराब संतरे, 16 अच्छे संतरों में भूलवश मिला दिए गए हैं। दो संतरों के निकाल में खराब संतरों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
16 अच्छे सन्तरों में 4 खराब सन्तरे मिला दिये गये हैं। अतः कुल सन्तरों की संख्या = 4 + 16 = 20
2 खराब सन्तरे चुनने हैं।
∴ एक खराब सन्तरे की प्रायिकता
प्रश्न 4.
एक कलश में 4 सफेद तथा 3 लाल गेंद हैं। तीन गेंदों के यादृच्छय निकाल में लाल गेंदों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
एक कलश में तीन गेंदें निकाली गई हैं। अतः
प्रतिदर्श = S {RRR, RRW, RWR, WRR, RWW, WRW, WWR WWW}
R लाल तथा W सफेद गेंद को व्यक्त करते हैं।
माना X लाल गेंदों की संख्या है। अत: X के सम्भव 3, 2, 1, 2, 1, 0 अथवा 0, 1, 2, 3 है।
∴P(X = 0) = P(कोई लाल नहीं)
= P(WWW)
P(X = 1) = P(RWW, WRW, WWR)
= P(RWW) P(WRW) + P(WWR)
P(X = 2) = P(RRW, ROR, WRR)
= P(RRW) + P(RWR) + P(WRR)
प्रश्न 5.
10 वस्तुओं के ढेर में 3 वस्तुएँ त्रुअपिर्ण है। इस ढेर में से 4 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श खराब वस्तुओं की संख्या को यादृच्छिक चर X द्वारा निरूपित किया जता है। ज्ञात कीजिए
(i) X का प्रायिकता बंटन
(ii) P(X ≤ 1)
(iii) P(X < 1)
(iv) P(0 < X < 2)
हल :
दिया है : 10 वस्तुओं के ढेर में 3 खराब है।
अतः अच्छी वस्तुएँ = 10 – 3 = 7
माना X खराब वस्तुओं की संख्या प्रदर्शित करता है। स्पष्ट है कि X के मान 0, 1, 2, 3 होंगे।
P(X = 0) = P(GGGG)
= P(अच्छी वस्तुएँ)
P(X = 1) = P(एक खराब तीन अच्छी)
= P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB)
P(X = 2) = P(दो खराब दो अच्छी)
= P(BBGG) + P(BGGB) + P(GBBG)
P(X = 3) = P(BBBG) + P(BGBB) + P(BBGB) + P(GBBB)
प्रश्न 6.
एक पासो को इस प्रकार भारित किया गया है कि पासे पर सम संख्या आने की संभावना विषम संख्या आने की अपेक्षा दुगुनी है। यदि पासे को बार उछाला गया है, तब दोनों उछालों में पूर्ण वर्गों को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायकिता बंटन ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है X पूर्ण वर्गों की संख्या व्यक्त करता है।
एक पासे को उछालने पर समष्टि = {1, 2, 3, 4, 5, 6}।
एक पासे पर पूर्ण योग प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac { 2 }{ 6 }\)
∴ पासे पर पूर्ण वर्ग प्राप्त न होने की प्रायिकता = \(1-\frac { 2 }{ 6 }\) = \(\frac { 4 }{ 6 }\)
जब दो बार उछाला जाता है तो n(S) = 36
∴ P(X = 0) = 8 (कोई पूर्ण वर्ग नहीं)
प्रश्न 7.
एक कलश में 4 सफेद तथा 6 लाल गेंद है। इस कलश में से चार गेंदे यादृक्ष्छया निकाली जाती है। सफेद गेंदों की संख्य का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
माना X सफेछ गेंद व्यक्त करता है। अतः कुल 4 + 6 = 10
से चार गेंद यादृच्छया निकालने पर X के मान 0, 1, 2, 3, 4 होंगे।
∴ P(X = 0) = P(सभी लाल गेंद)
P(X = 1) = P(एक सफेद और 3 लाल गेंद)
= P(WRRR, RWRR, RRWR, RRRW)
P(X = 2) = P(दो सफेद दो लाल)
= P(WWRR, WRWR, WRRW, RRWW)
P(X= 3) = P(तीन सफेद 1 लाल)
= P(WWWR, WWRW, WRWW, RWWW)
P(X = 4) = P(WWWW)
प्रश्न 8.
पासों में एक जोड़े को तीन बार उछालने पर टिकों (doubleth) की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
माना X टिट्कों (doubleth) की संख्या है।
अतः X के मान 0, 1, 2, 3 होंगे।
एक उछाल में पासों के एक जोड़े पर प्राप्त होने वाले टिट्कों (doubleth) का समुच्चय
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
एक जोड़ा पांसों उछालने की सम्भाविति विधियाँ
= 6 x 6 = 36
अतः एक उछाल में एक जोड़े पर एक टिट्क (doubleth) आने की
प्रश्न 9.
पासों के युग्म को उछाला जाता है। माना यादृच्छिक चर। X, पासों पर प्राप्त अंकों के योग को निरूपित करता है। चर X का माध य ज्ञात कीजिए।
हल :
जब दो पासे फेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या
= 6 x 6
= 36
P(X = 2) = P(1, 1) = \(\frac { 1 }{ 36 }\)
P(X = 3) = P[(1, 2), (2, 1)] = \(\frac { 2 }{ 36 }\)
P(X = 4) = P[(1, 3), (2, 2), (3, 1)] = \(\frac { 3 }{ 36 }\)
P(X = 5) = P[(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)] = \(\frac { 4 }{ 36 }\)
P(X = 6) = P[(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)] = \(\frac { 5 }{ 36 }\)
P(X = 7) = P[(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)] = \(\frac { 6 }{ 36 }\)
P(X = 8) = P[(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)] = \(\frac { 5 }{ 36 }\)
P(X = 9) = P[(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)] = \(\frac { 4 }{ 36 }\)
P(X = 10) = P[(4, 6), (5, 5), (6, 4)] = \(\frac { 3 }{ 36 }\)
P(X = 11) = P[(5, 6), (6, 5)] = \(\frac { 2 }{ 36 }\)
P(X = 12) = P[(6, 6)] = \(\frac { 1 }{ 36 }\)
प्रश्न 10.
एक अनभिनत पासो को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का प्रसारण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X पासे पर प्रकट संख्या को व्यक्त करता है। तब X एक यादृच्छिक चर है जो 1, 2, 3, 4, 5 या 6 मानते हैं।
साथ ही P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्न है।
प्रश्न 11.
एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का पक्ष लिया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। बैठक में सक एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और माना X = 0, यदि उस चयनित सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तथा X = 1, यदि सदस्य प्रस्ताव के पक्ष में हो तब X का माध्य तथा प्रसारण ज्ञात कीजिए।
हल :
X = 1 पर किसी प्रस्ताव का पक्ष करने वाले सदस्यों की प्रायकिता = 70% = \(\frac { 70 }{ 100 }\) = 0.70
X = 0 पर सिकी प्रस्ताव का विरेध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता = 30% = \(\frac { 30 }{ 100 }\) = 0:30
∴ प्रायिकता बंटन इस प्रकार है।
प्रश्न 12.
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोतर बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। बादशाहों की संख्या का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात करो।
हल :
ताश की एक गड्डी में से यादृच्छया दो पत्ते खींचे जाते हैं।
दोनों पत्तों के बादशाह न होने पर कुल विधियाँ
