Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.5
प्रश्न 1.
यदि एक न्यायय सिक्के को 10 बार उछाला गया हो तो निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात करो :
(i) तथ्यतः छः चित
(ii) कम से कम छः चित
(iii) अधिकतम छः चित।
हल :
(i) एक सिक्के को बार-बार उछालना बरनौली परीक्षण होता है। 10 परीक्षणों में चित्तों की संख्या X मानते हैं।
(ii) P(कम से कम 6 चित्त) = p(X ≥ 6)
= p(X = 6) + p(X = 7) + p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10)
(iii) P(अधिकतम छः चित्त) = p(X ≤ 6)
= p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6)
प्रश्न 2.
एक कलश में 5 सफेद, 7 लाल और 8 काली गेंदे। यदि चार गेंदे एक-एक करके प्रतिस्थापन सहित निकाली जाती है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी सफेद गेंद हो
(ii) केवल तीन गेंदे हो
(ii) कोई भी सफेद गेंद नहीं हो
(iv) कम से कम तीन सफेद हो।
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या = 5 + 7 + 8 = 20
सफेद गेदों की संख्या = 5
(ii) पहली बार सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
(iii) p(कोई भी सफेद गेंद नहीं)
अतः अन्य गेंदों की संख्या = 7 + 8 = 15
(iv) p(कम से कम 3 गेंद सफेद) = p(चार) – p(तीन गेंद सफेद)
प्रश्न 3.
एक बाधा दौड़ में एक खिलाड़ी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। खिलाड़ी के द्वारा प्रत्येक बाधा को पार करने की प्रायिकता \(\frac { 5 }{ 6 }\) है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह 2 कम बाधाओं को गिरा देगा (पार नहीं कर पाएगा?
हल :
कुल बाधाओं की संख्या = 10
⇒ n = 10
बाधा को पार करने की प्रायिकता = p = \(\frac { 5 }{ 6 }\)
बाधा पार न करन की प्रायकिता = \(1-\frac { 5 }{ 6 }\) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
= q
p(दो से कम बाधाओं को पार न करना)
प्रश्न 4.
पाँच पासों को एक साथ फेंका गया है। यदि एक पासे पर सम अंक आने को सफलता माना जाये तो अधिकतम 3 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल : एक पासे को फेंकने पर
S = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ n(S) = 6
माना A एक सम संख्या निरूपित करता है।
∴ A = {2, 4, 6}
n(A) = 3
प्रश्न 5.
10% खराब अंडों वाले एक ढेर से 10 अंडे उत्तरोत्तर प्रतिस्थापन के साथ निकाले गऐ है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि 10 अंडों के प्रतिदर्श में कम से कम खाब अंडा है।
हल :
खराब अंडों की प्रयिकता = 10%
10 अंडों के नमूने में कम से कम एक अंडा खराब होने की प्रायिकता
= p(1) + p(2) + p(3) +…
= p(0) + p(1) + p(2) +…+ p(10) – p(0)
= [p(0) + p(1) + p(2) +…+ p(10)] – p(0)
= 1 – p(0)
प्रश्न 6.
एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की \(\frac { 1 }{ 100 }\) प्रायिकता है। इस बात की क्या प्रायिकता हैं कि वह
(i) कम से कम एक बार
(ii) तथ्यतः एक बार
(iii) कम से कम दो बार इनाम जीत लेगा।
हल :
∴ प्रत्येक टिकट जीतने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 100 }\)
प्रत्येक टिकट हारने की प्रायिकता = \(1-\frac { 1 }{ 100 }\) = \(\frac { 99 }{ 100 }\)
(i) कम से कम एक बार जीतने की प्रायिकता
(ii) तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता
(iii) कम से कम दो बार जीतने की प्रायिकता
= p(2) + p(3) +…+ p(50)
= [p(0) + p(1) + p(2) +…+ p(50)] – p(0) – p(1)
= 1 – [p(0) + p(1)]
प्रश्न 7.
किसी कारखाने में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम से कम एक 150 दिनों से उपयोग के बाद फ्यूज हो जायेंगे।
हल :
बल्ब के 150 दिनों बाद फ्यूज होने की प्रायिकता p = 0.05
बल्ब के 150 दिनों बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता
q = 1 – p = 1 – 0.05 = 0.95
(i) P(एक भी बल्ब फ्यूज न हो) = P(x = 0) = (0.95)5
(ii) P(एक से अधिक न हो) = P(o) + P(1)
= (0.95)5 + 5C1 (0.95) (0.05)
= (0.95)4 [0.95 + 5 x 0.05] = (0.95)4 [0.95 + 0.25]
= (0.95)4 x 1.2
= 1.2(0.95)4
(iii) P(एक से अधिक) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= P(o) + (1) + (2) + P(3) + P(4) + (5) – [P(o) + P(1)]
= 1 – (0.95)4 x 1.2 [भाग (ii) से]
(iv) P(कम से कम एक) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= P(o) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(o)
= 1 – (0.95)5 [भाग (i) से]
प्रश्न 8.
एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न है जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर है जिनमें से केवल एक ही सही उत्तर हैं इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगा कर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा?
हल :
तीन सम्भावित उत्तरों में से एक उत्तर सही है।
सही उत्तर की प्रायिकता = p = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
∴ गलत उत्तर की प्रायिकता = q = 1 – p
प्रश्न 9.
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में माना एक विद्यार्थी एक न्यायय एक सिक्के को उछालकार प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो, तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो, तो ‘असत्य’ लिखता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम 12 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
हल :
p(सिक्का उछालने पर चित आता है)
\(p=\frac { 1 }{ 2 }\)
p(सिक्का उछालने पर चित नहीं आता है)
q = 1 – p
प्रश्न 10.
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदें उत्तरोत्तर पुनः वापस रखते हुए निकाली जाती है, तो इसी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 नहीं लिखा हो?
हल :
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिन पर 0 से 9 तक अंकों में से एक अंक लिखा है।
0 अंक वाली एक गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
p = \(\frac { 1 }{ 10 }\) = 0.1
गेंद पर 0 न लिखा होने की प्रायिकता
q = 1 – p
= 1 – 0.1
= 0.9
अब 4 गेंद निकाली गई हैं।
उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 लिखा होने की प्रायिकता
प्रश्न 11.
52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापन सहित निकाले जाते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हो ?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हो ?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो ?
हल :
एक ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते है उनमें से 13 पत्ते हुकुम के हैं।
एक हुकुम का पत्ता खचने की प्रायिकता
एक हुकुम का पत्ता न खींचने की प्रायिकता
q = 1 – p
(i) P(सभी 5 पत्ते हुकुम के हों)
(ii) P(केवल 3 पत्ते हुकुम के हों)
(iii) P(एक भी पत्ता हुकुम का नहीं है)
प्रश्न 12.
माना चर X का बंटन B(6, \(\frac { 1 }{ 2 }\)) द्विपद बंटन हैं सिद्ध करो कि X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
हल :
दिया है, B(6, \(\frac { 1 }{ 2 }\)) द्विपद बंटन है।
प्रश्न 13.
पासों के एक जोड़ को 4 बार उछाला जाता है। यदि पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना सफलता मानी जाए तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
पासे के एक जोड़ को उछालने पर
n(S) = 6 x 6
= 36
1 जोड़ पासे से 6 द्विक बन सकते हैं।
[(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)]
∴ पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता
