RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
sin-1 (x√x), 0 ≤ x ≤ 1.
हल :
माना कि y = sin-1 (x√x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Additional Questions

प्रश्न 2.
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Additional Questions
हल :
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3.
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Additional Questions
हल :
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
x3.ex .sin x
हल :
माना कि y = x3.ex .sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 5.
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Additional Questions
हल :
माना कि
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 6.
(x log x)logx
हल :
माना कि y = (x log x)logx
दोनों पक्षों को log लेने पर
log y = log (x log x)logx
log y = log x.log (x log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

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प्रश्न 7.
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हल :
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y = x²[1 + tan (log x)]
y = x² + x² tan (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 8.
xx2-3 + (x – 3)x2, x > 3
हल :
माना y = xx2-3 + (x – 3)x2
u = xx2-3 तथा v = (x – 3)x2
तब y = u + v
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दोनों पक्षों का log लेने पर ।
log u = log xx2-3
log u = (x² – 3) log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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दोनों पक्षों को log लेने पर
log v = log (x – 3)x2
log v = x².log (x – 3)
दो पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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समीकरण (i) में समीकरण (ii) व (iii) से मान रखने पर
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प्रश्न 9.
y = 12(1 – cos t), x = 10(t – sin t).
हल :
दोनों समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर

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प्रश्न 10.
sin-1x + sin-1 √1-x²
हल :
माना y = sin-1x + sin-1 √1-x²
तब y = sin-1x + cos-1
[∵ cos-1x = sin-1 √1-x²]
तथा y = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
<img src="http://www.rbseguide.com/wp-content/uploads/2019/05/RBSE-Solutions-for-Class-12-Maths-Chapter-7-Additional-Questions-9.png" alt="" width="367" height="202" class="alignnone size-full wp-image-19475" />

प्रश्न 11.
यदि
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तब सिद्ध कीजिए कि
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हल :
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 12.
यदि y = x sin (a + y) तव सिद्ध कीजिए कि
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हल :
दिया है,
sin y = x sin (a + y)
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दोनों पक्षों का y के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 13.
यदि y = (sin x – cos x)(sin x – cos x) तव \(\frac { dy }{ dx }\) मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना y = (sin x – cos x)(sin x – cos x)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = (sin x – cos x) log (sin x-cos x)
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 14.
यदि y = sin (sin x) तब प्रदर्शित कीजिए कि
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हल :
दिया हैं,
y = sin(sin x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 15.
(i) यदि y = eax sin bx तब प्रदर्शित कीजिए कि
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(ii) यदि
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तब सिद्ध कीजिए कि
(1 – x²)y2 – 3xy1 – y = 0.
हल :
(i) दिया है,
y = eax sin bx  …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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(ii) दिया है,
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 16.
निम्नलिखित फलनों के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए
(a) f(x) = (x – 2)√x, x ∈ [0, 2]
(b) f(x) = (x – 1) (x – 3), x ∈ [1, 3]
हन :
(a) दिया हुआ फलन ।
f(x) = x ∈ [0, 2]
स्पष्ट है कि फलन f(x) = अन्तराल [0, 2] में सतत है तथा f’ (x) = \(\frac { 3x-2 }{ 2\sqrt { 2 } } \) जो कि अन्तराल (0, 2) के प्रत्येक बिन्दु में परिभाषित एवं विद्यमान हैं अर्थात् फलन f(x) अन्तराल (0, 2) में अवकलनीय है।
∵f(0) = 0 = f(2)
⇒ f(0) = f(2)
उपरोक्त से फलन f(x) दिए गए अन्तराल में रोले प्रमेय के सभी प्रतिबन्धों को संतुष्ट करता है।
अत: f’ (c) = 0
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इस प्रकार है कि
f’ (c) = 0
इस प्रकार \(c=\frac { 2 }{ 3 }\) के लिए रोले की प्रमेय का सत्यापन होता है।

(b) दिया हुआ फलन
f(x) = (x – 1) (x – 3), x ∈ [1,3]
स्पष्ट है कि फलन f(x) = (x – 1) (x – 3) अन्तराल [1, 3] के सतत हैं तथा f’ (x) = 2x – 4 जो कि अन्तराल (1, 3) के प्रत्येक बिन्दु में परिमित व विद्यमान हैं अर्थात् फलन f(x) अन्तराल (1,3) में अवकलनीय
∵ f(1) – 0 = f(3)
⇒ f(1) = f(3)
उपरोक्त से फलन f(x) दिए गए अन्तराल में रोले प्रमैय के सभी प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है।
अत: f’ (c) = 0
f’ (c) = 2c – 4 = 0
2c = 4
c = 2
c = 2 ∈ (1, 3)
इस प्रकार हैं कि
f’ (c) = 0
अतः c = 2 के लिए रोले की प्रमेय सत्यापित होती है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित फलनों के लिए लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए
(a) f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3), x ∈ [0, 4]
(b) f(x)
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हल :
(a) दिया हुआ फलन
f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), x ∈ [0, 4]
अर्थात् f(x) = x3 – 6x² + 11x – 6, x ∈[0, 4]
स्पष्ट है कि f(x) = x3 – 6x² + 11x – 6 अन्तराल [0, 4] के सतत है तथा f’ (x) = 3x² – 12x + 11, जो कि अन्तराल (0, 4) में परिमित व विद्यमान है। अत: फलन f(x) अन्तराल (0, 4) में अवकलनीय है। फलतः फलन f(x) लोग्रांश मध्यमान प्रमेय के दोनों प्रतिबन्धों को संतुष्ट करता है।
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इस प्रकार है कि
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इस प्रकार लाग्नज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है।

(b) दिया हुआ फलन
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स्पष्ट है कि फलन (1 + x) तथा (5 – x) बहुपद हैं। अत: f(x) अन्तराल [1,3] में सतत व अवकलनीय है केवल x = 2 को छोड़कर।
x = 2 पर सततता को जाँच
बाय सीमा = limx→2– f(x)
= limx→2– (1 + x)
⇒ 1 + 2 = 3
दायीं सीमा = limx→2+ f(x)
= limx→2+ (5 – x)
⇒ 5 – 2 = 3
तथा x = 2 पर फलन का मान
f(2) = 5 – 2 = 3,
अत: limx→2 f(x) = 3, फलन x = 2 पर मान सतत है।
x = 2 पर अवकलनीयता की जाँच
बायाँ पक्ष
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दायाँ पक्ष
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∵ LHS [Lf'(2)] ≠ RHS [Rf'(2)]
अतः फलन f(x), x = 2 में अवकलनीय नहीं है।
∵ लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है।
अत: लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित नहीं होती हैं।

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