RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Ex 8.3 is part of RBSE Solutions for Class 12 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Exercise 8.3.
Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Ex 8.3
प्रश्न 1.
वक्र y = x3 – x बिन्दु x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हुल :
दिया गया वक्र y = x3 – x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac { dy }{ dx }\) = 3 – x² – 1 ..(i)
समौ. (i) में x = 2 रखने पर,
\({ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }_{ (x=2) }\) = 3 (2)² – 1 = 11
अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = 11,
प्रश्न 2.
वक़ \(y=\frac { x-1 }{ x-2 }\), x ≠ 2 के बिन्दु x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल :-
\(y=\frac { x-1 }{ x-2 }\) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
अतः x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = – \(\frac { 1 }{ 64 }\)
प्रश्न 3.
वह बिन्दु ज्ञात कीजिए, जहाँ वक्र \(y=\sqrt { \left( 4x-3 \right) } -1\) की स्पर्श रेखा की प्रवाता \(\frac { 2 }{ 3 }\) है।
हल-
दिया गया वक्र \(y=\sqrt { \left( 4x-3 \right) } -1\) …..(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्नानुसार, स्पर्श रेखा की प्रतणता \(\frac { 2 }{ 3 }\) है।
x = 3 समीकरण (i) में रखने पर,
अत: अभीष्ट बिन्दु (3, 2) है।
प्रश्न 4.
उन सभी रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र \(y+\frac { 2 }{ x-3 }=0\) की स्पर्श रेखाएँ हैं तथा जिनकी प्रवणता 2 है।
हल :
दिया गया वक्र \(y+\frac { 2 }{ x-3 }=0\)
\(y=-\frac { 2 }{ x-3 }=0\) …(1)
x के सापेक्ष अथकलन करने पर,
प्रश्नानुसार, प्रवणता = 2
(x – 3)² = 1
x – 3 = ±1
x = ± 1 + 3
x = 4, 2
x = 4 समीकरण. (i) में रखने पर,
तब बिन्दु = (4, – 2)
पुत: x = 2 समीकरण (i) में रखने पर
तब , बिन्दु = (2, 2)
अब बिन्दु (4,-2) पर स्पर्श रेटा का समीकरण
y -(-2) = 2 (x – 4)
y + 2 = 2x – 8
2x – y – 10 = 0
पुनः बिन्दु = (2, 2) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 2 = 2 (x – 2)
y – 2 = 2x – 4
2x – y – 2 = 0
अतः अभीष्ट रमीकरण 2x – y – 10 = 0 तथा 2x – y – 2 = 0 है।
प्रश्न 5.
वक्र
पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ स्प देखा।
(i) x-अक्ष के समान्तर है तथा
(ii) y-अक्ष के समान्तर है।
हल :
दिया गया वक्र
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
(i) शव स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर हो, तो
अत: विन्दुओं (0, ± 5) पर स्पर्श रेखाएँ x-पक्ष के समान्तर हैं।
(ii) जन स्पर्श रेखा y-अक्ष के समान्तर है अर्थात् x-अक्ष पर लम्ब है, तो
अत: विन्दुओं (± 2, 0} पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समार है।
प्रश्न 6.
वक्र x = a sin3 t, y = b cos3 t का t = \(\frac { \pi }{ 2 } \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए वक्र का t सापेक्ष अवकलन करने पर
तथा जब t = \(\frac { \pi }{ 2 } \) तब x = a तथा y = 0
अतः t = \(\frac { \pi }{ 2 } \) पर अर्थात् (a, 0) पर दिए गए वक्र को स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 0 = 0(x – a)
अथात् y = 0 है।
प्रश्न 7.
वक्र y = sin²x के बिन्दु \(\left( \frac { \pi }{ 3 } ,\frac { \pi }{ 4 } \right) \) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हुल :
y = sin²x का x के सापेक्षा अवकलन करने पर,
अतः अभिलम्ब का अभीष्ट समीकरण
प्रश्न 8.
निम्न वक़ों के लिए उनके सम्मुख अंकित बिन्दु पर स्पर्श रेखा एवं अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(a) y = x² + 4x + 1, x = 3 पर
(b) y² = 4ax, x = a पर
(c) xy = a²
(d) y² = 4ax,
(e)
(f) y = 2x² – 3x – 1, (1, – 2) पर
(g) x = at², y = 2at, t = 1 पर
(h) x = θ + sin θ, y = 1 – cosθ, θ = \(\frac { \pi }{ 2 } \) पर
हल :
(a) दिया गया वक्र y = x² + 4x + 1 …(i)
समी. (i) में x = 3 रखने पर
y = (3)² + 4 (3) + 1
y = 22
अत: स्पर्श बिन्दु = (3, 22)
समी. (i) का x के सापेक्षा अवकलन करने पर,
अब, वक्र (i) के बिन्दु (3, 22) पर स्पी की समीकरण
y – 22 = 10 (x – 3)
y – 22 = 10x – 30
10x – y = 8
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण 10x – y = 8 है।
पुन: वक्र (i) के बिन्दु (3, 22) पर अभिलम्य का समीकरण
y – 22 = \(-\frac { 1 }{ 10 }(x-3)\)
10y – 220 = -x + 3
x + 10y = 223
अतः अभिलम्ब का समीकरण x + 10y = 223 है।
(b) दिया गया वक्र y² = 4ax
सौ. x = aरखने पर,
y² = 4a (a)
y² = 4a²
y = ± 2a
अत: स्पर्श बिन्दु (a, 2a) तथा (a, -2a) हैं।
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
अब तक (i) के बिन्दु (a, 2a) पर स्पर्शी का समीकरण
y – 2a = 1 (x – a)
x – y + a = 0
पुन: वक्र (i) में बिन्दु (a, 2a) पर अभिलम्ब का समीकरण
y – 2a = – 1(x – 1)
⇒ x + y – 3a = 0
अत: चिन्दु (a, 2a) पर स्पॉं का समीकरण x – y + a = 0 तथा अभिलम्ब का समीकरण x + y – 3a = 0 है।
(c) दिया गया वक्र xy = a²
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
वक्र (i) के बिन्दु (at, \(\frac { a }{ t }\)) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
⇒ t²y – at = – x + at
⇒ x + t²y = 2at
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण x + t²y = 2at हैं।
पुनः वक्र (i) में बिन्दु (at, \(\frac { a }{ t }\)) पर अभिलम्ब का समीकरण
y – \(\frac { a }{ t }\) = t²(x – at)
yt – a = t3 (x – at)
yt – a = t3 x – at4
t3x – yt = at4 – a
t3x – yt = a(t4 – 1)
अत:, अभिलम्ब का समीकरण t3x – yt = a (t4 – 1) है।
(d) दिया गया चक्र y² = 4ax
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
वक्र (i) के बिन्दु \(\left( \frac { a }{ { m }^{ 2 } } ,\frac { 2a }{ m } \right) \) पर स्पर्श बिन्दु का समीकरण
⇒ my – 2a = m²x – a
⇒ m²x – my + a = 0
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण m²x – my + a = 0 है।
पुन: वक्र (i) के बिन्दु \(\left( \frac { a }{ { m }^{ 2 } } ,\frac { 2a }{ m } \right) \) पर अभिलम्ब का समीकरण
m² (my – 2a) = -(m²x – a)
m3y – 2am² = – m²x + a
m²x + m3y = a (2m² + 1)
अतः अभिलम्ब का समीकरण m²x + m3y = a (2m² + 1) है।
(e) दिया गया वक्र
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
बिन्दु (a sec θ, b tan θ) पर
चक्र (i) के बिन्दु (a sec θ, b tan θ) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
ay tan θ – ab tan² θ = bx sec θ – ab sec² θ
bx sec θ – ay tan θ = ab(sec² θ – tan² θ)
पुन: वक्र (i) के बिन्दु (a sec θ, b tan θ) पर अभिलम्ब का समीकरण
by cosec θ – b² tan θ cosec θ = – ax + a² sec θ
ax + b cosec θ = b² sec θ + a² sec θ
ax + b c0sec θ = sec θ (a² + b²)
अत: अभिलम्ब का समीकरण
ax + by cosec θ = sec θ (a² + b²) है।
(f) दिया गया वक्र y = 2x² – 3x – 1 …(i).
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
वक्र (i) के बिन्दु (1,-2) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y + 2 = 1 (x – 1)
⇒ x – y = 3
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण x – y = 3 हैं।
पुन: वक्र (i) के बिन्दु (1,-2) पर अभिलम्ब का समीकरण
y + 2 = -1(x – 1)
x + y + 1 = 0
अत: अभिलम्ब का समीकरण x + y + 1 = 0 है।
(g) x = at², y = 2at
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 2at = 1 (x – at²)
t = 1 रखने पर,
y – 2a = x – a
⇒ x – y + a = 0
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण x – y + a = 0 है।
पुन: अभिलम्ब का समीकरण |
y = 2at = -1 (x – a t²)
t = 1 रखने पर,
y – 2a = -(x – a)
⇒ x + y – 3a = 0
अत: अभिलम्ब का समीकरण x + y – 3a = 0 है।
(h) x = θ + sin θ, y = 1 – cos θ
θ सापेक्ष अवकलन करने पर,
स्पर्श रेखा का समीकरण
अत: स्पर्श रेखा का समीकरण x – y = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
पुन: अभिलम्ब का समीकरण
y – (1 – cos θ) = -1 [x – (θ + sin θ]]
⇒ x + y = 2 + \(\frac { \pi }{ 2 } \)
अत: अभिलम्ब का समीकरण x + y = 2 + \(\frac { \pi }{ 2 } \)