Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.4
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए
प्रश्न 1.
हल:
प्रश्न 2.
हृल :
प्रश्न 3.
हृल :
⇒ 3x = Ax – 2A + Bx + B
⇒ 3x = (A + B)x – 2A + B
तुलना करने पर, A + B = 3 ….(1)
तथा -2A + B = 0
B = 2A …….(2)
समी. (2) से B का मान समी. (1) में रखने पर,
⇒ A + 2A = 3 ⇒ A – 1
माना B = 2 x 1 = 2
= log | x + 1 | + 2 log | x – 2| + C
प्रश्न 4.
हल :
⇒ 3x – 2 = A (x + 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x + 1)²
⇒ 3x – 2 = A (x² + 4x + 3) + Bx + 3B + C (x² + 2x + 1)
⇒ 3x – 2 = (A + C)x² + (4A + B + 2C)x + 3A + 3B + C
तुलना से,
A + C = 0 तो A = – C ….(i)
4A + B + 2C = 3
4A + B – 2A = 3
24 + B = 3 …(ii)
3A + 3B + C = – 2
3A + 3B – A = – 2
2A + 3B = – 2 …(iii)
समी. (iii) में से (ii) को घटाने पर
(2A + 3B) – (2A + B) = – 2 – 3
2B = – 5 ⇒ B = \(-\frac { 5 }{ 2 }\)
2A + B = 3
प्रश्न 5.
हल :
माना
x² = A (x – 2)(x – 3) + B (x + 1) (x – 3) + C (x + 1] (x – 2)
x² = A(x² – 2x – 3x + 6) + B (x² + x – 3x – 3) + C (x² + x – 2x – 2)
x² = A (x² – 5x + 6) + B (x² – 2x – 3) + C(x² – x – 2)
x² = (A + B + C)x² + (-5A – 2B – C)x + (6A – 3B – 2C)
दोनों पक्षों में x के गुणांकों की तुलना करने पर,
A + B + C = 1 …(1)
– 5A – 2B – C = 0 …(2)
6A – 3B – 2C = 0 …(3)
समी. (1), (2) व (3) को हल करने पर
प्रश्न 6.
हल:
y = A (y – 4) + B (y + 3)
y = Ay – 4A + By + 3B
y = Ay + By + (-4A + 3B)
y = (A + B)y + (-4A + 3B)
तुलना करने पर A + B = 1, – 4A + 3B = 0
हल करने पर, A = 3/2, B = 4/7
प्रश्न 7.
हल:
1 = A (x – 1) (x + 1) + B (x + 1} + C (x – 1)²
1 = A (x² – 1) + B (x + 1) + C(x² – 2x + 1)
1 = (A + C)x² + (B – 2C)x – A + B + C
तुलना करने पर , A + C = 0,B – 2C = 0
– A + B + C = 1
प्रश्न 8.
हल:
तथा अंश की बात हर को घात से बड़ी या बराबर नहीं होनी चाहिएः
∴ घात का संयोजन किया गया है।
प्रश्न 9.
हल:
प्रश्न 10.
हल:
x + 1 = A (x + 3) (x – 2) + Bx (x – 2) + Cx (x + 3)
x + 1 = A (x² + 3x – 2x – 6) + B(x² – 2x) + C(x² + 3x)
x + 1 = A (x² + x – 6) + B(x² – 2x) + (C x² + 3Cx)
x + 1 = (A + B + C)x² + (A – 2B + 3C)x – 6A
तुलना करने पर,
A + B + C = 0, A – 2B + 3C = 1, – 6A = 1
हल करने पर,
प्रश्न 11.
हल:
⇒ x² – 8x + 4 = A(x² – 4) = A(x² – 4) + B(x² + 2x) +C(x² – 2x)
⇒ x² – 8x + 4 = (A + B + C)x² + (2B – 2C)x – 4A
तुलना करने पर
A + B + C = 1, 2B – 2 C = – 8, – 4 A = 4
हल करने पर, A = -1, B = – 1, C = 3
= – log | x | – log | x – 2 | + 3 log | x + 2 | + C
प्रश्न 12.
हल:
⇒ 1 = A(x – 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x – 1)²
⇒ 1 = A(x² – x + 2x – 2) + B(x + 2) + C(x² – 2x + 1)
⇒ 1 = A(x² + x – 2) + B(x + 2) + C(x² – 2x + 1)
⇒ 1 = (A + C)x² + (A + B – 2C)x – 2A + 2B + C
तुलना करने पर,
A + C = 0, A + B – 2C = 0, – 2A + 2B + C = 1
हल करने पर,
प्रश्न 13.
हल:
⇒ 1 – 3x = A(1 + x²) + (Bx + C) (1 + x)
⇒ 1 – 3x = A + Ax² + Bx + C + Bx² + Cx
⇒ 1 – 3x = Ax² + Bx² + Bx + Cx + A + C
⇒ 1 – 3x = (A + B)x² + (B + C)x + A + C
तुलना करने पर,
A + B = 0, B + C = – 3, A + C = 1
हल करने पर
A = 2, B = – 2, C = – 1
प्रश्न 14.
हल:
प्रश्न 15.
हल:
⇒ 2x + 1 = Ax + Bx + 2A + B
⇒ 2x + 1 = (A + B)x + (2A + B)
तुलना करने पर,
A + B = 2, 2A + B = 1
हल करने पर,
A = -1, B = 3
= x – log |x + 1| + 3 log |x + 2|
प्रश्न 16.
हल:
(x – 1) = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 1)
x – 1 = Ax² + A + Bx² + Cx + Bx + C
x – 1 = (A + B)x² + (B + C)x + A + C
तुलना करने पर,
A + B = 0, B + C = 1, A + C = – 1
हुल करने पर,
A = – 1, B = 1, C = 0
प्रश्न 17.
हल :
प्रश्न 18.
हल :
(ex से अंश व हर में गुणा करने पर)
माना ex – 1 = t, तो ex = t + 1
ex dx = dt
1 = At² + Bt(t – 1) + C(t + 1)
1 = At² + Bt² + Bt + Ct + C
1 = (A + B)t² – (B + C)t + C
तुलना से, A + B = 0, B + C = 0, C = 1
हल करने पर,
C = 1, B = – 1, A = 1
प्रश्न 19.
हल :
माना
ex = t
ex dx = dt
⇒ 1 = At + 2A + Bt + 3B
⇒ 1 = (A + B)t + (2A + 3B)
तुलना करने पर,
A + B = 0, 2A + 3B = 1
हल करने पर,
A = – 1, B = 1
प्रश्न 20.
हल :
माना
tan x = t
sec² x dx = dt
⇒ 1 = 3A + At + 2B + Bt
⇒ 1 = (A + B)t + 3A + 2B
तुलना करने पर,
A + B = 0
तथा 3A + 2B = 1
हल करने पर, A = 1, B = -1
प्रश्न 21.
हल:
(अंश व हर में x4 से गुणा करने पर)
⇒ 1 = At + A + Bt
⇒ 1 = (A + B)t + A
तुलना करने पर
A + B = 0, A = 1
हल करने पर,
A = 1, B = – 1
प्रश्न 22.
हल:
प्रश्न 23.
हल:
⇒ 8 = (x² + 4) = (Bx + C)(x + 2)
= A(x² + 4) + Bx² + Cx + 2Bx + 2C
= (A + B)x² + (2B + C)x + 4A + 2
तुलना करने पर,
A + B = 0, 2B + C = 0, 4A + 2C = 8
हल करने पर,
A = 1, B = – 1, C = 2
प्रश्न 24.
हल:
