RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Miscellaneous Exercise is part of RBSE Solutions for Class 9 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Miscellaneous Exercise.
| Board | RBSE |
| Textbook | SIERT, Rajasthan |
| Class | Class 9 |
| Subject | Maths |
| Chapter | Chapter 10 |
| Chapter Name | त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल |
| Exercise | Miscellaneous Exercise |
| Number of Questions Solved | 29 |
| Category | RBSE Solutions |
Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Miscellaneous Exercise
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए-
प्रश्न 1.
एक त्रिभुज की माध्यिका उसे विभाजित करती है,दो
(A) बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में
(B) सर्वांगसम त्रिभुजों में।
(C) समकोण(RBSESolutions.com)त्रिभुजों में
(D) समद्विबाहु त्रिभुजों में
उत्तर
(A) बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में
प्रश्न 2.
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं:
उत्तर
(D)
प्रश्न 3.
8 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने से बनी आकृति है।
(A) 24 सेमी2 क्षेत्रफल का एक आयत
(B) 25 सेमी2 क्षेत्रफल(RBSESolutions.com)को एक वर्ग
(C) 24 सेमी2 क्षेत्रफल का एक समलम्ब
(D) 24 सेमी2 क्षेत्रफल का एक समचतुर्भुज
उत्तर
(D) 24 सेमी2 क्षेत्रफल का एक समचतुर्भुज
संकेत:
EFGH के विकर्ण HF = AB = 8 सेमी
तथा GE = BC = 6 सेमी।
समचतुर्भुज EFGH का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × विकर्णो का गुणनफल
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8 × 6
= 24 सेमी2
प्रश्न 4.
चित्र में, समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है-
(A) AB × BM
(B) BC × BN
(C) DC × DL
(D) AD × DL
उत्तर
(C) DC × DL
प्रश्न 5.
दिए गए चित्र में, यदि समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEM समान क्षेत्रफल के हैं, तो
(A) ABCD का परिमाप = ABEM का परिमाप
(B) ABCD का परिमाप < ABEM का परिमाप (C) ABCD का परिमाप > ABEM का परिमाप
(D) ABCD का परिमाप = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (ABEM का परिमाप)
उत्तर
(C) ABCD का परिमाप > ABEM का परिमाप
संकेत:
∆BEC में, BC कर्ण है।
BC > BE तथा ∆ADM में, AD > AM
समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज ABCD का परिमाप = AB + BC + CD + AD
= AB + BC + AB + BC
= 2 (AB + BC)
आयत ABEM का परिमाप
= AB + BE + ME + AM
= AB + BE + AB + BE
= 2 (AB + BE)
BC > BE
समान्तर चतुर्भुज ABCD का परिमाप > आयत ABEM का परिमाप
प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दु किसी भी एक शीर्ष को चौथा बिन्दु लेकर एक सरल चतुर्भुज बनाते है, जिसको क्षेत्रफल बराबर है:
(A) \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC)
(B) \(\frac { 1 }{ 3 }\) ar (ABC)
(C) \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (ABC)
(D) ar (ABC)
उत्तर
(A) \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC)
संकेत:
चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होगा क्योंकि ये चारों सर्वांगसम त्रिभुज हैं।
ar (∆DEF) = ar (∆BDE) = ar (∆CEF) = ar (∆ADE) …(1)
मध्य बिन्दुओं D, E, F तथा(RBSESolutions.com)त्रिभुज के चौथे बिन्दु B से प्राप्त आकृति BEFD होगी।
ar (∆ABC) = ar (∆DEF) + ar (∆BDE) + ar (∆CEF) + ar (∆ADE)
= 4ar (∆DEF) [समी. (1) का प्रयोग करने पर] …(2)
ar (BEFD) = ar(∆BED) + ar (∆DEF) = 2ar (∆DEF) ….(3)
समी (2) तथा (3) से
ar (∆ABC) = 2 ar (BEFD)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ABC) = ar (BEFD)
प्रश्न 7.
दो समान्तर चतुर्भुज बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात हैं:
(A) 1 : 2
(B) 1 : 1
(C) 2 : 1
(D) 3 : 1
उत्तर
(B) 1 : 1
प्रश्न 8.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसको विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करती है। तब ABCD
(A) एक आयत है
(B) सदैव एक समचतुर्भुज है।
(C) एक समांतर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज है।
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं
उत्तर
(C) एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रश्न 9.
एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है।
(A) 1 : 3
(B) 1 : 2
(C) 3 : 1
(D) 1 : 4
उत्तर
(B) 1 : 2
संकेत
त्रिभुज का क्षेत्रफल, = \(\frac { 1 }{ 2 }\) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
प्रश्न 10.
ABCD एक समलम्ब है जिसकी , समान्तर भुजाएँ AB = b सेमी और DC = a सेमी है। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात है:
(A) a : b
(B) (3a + b) : (a + 3b)
(C) (a + 3b) : (3a + b)
(D) (2a + b) : (3a + b)
उत्तर
(C) (a + 3b) : (3a + b)
संकेत:
EF = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (AB + CD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (b + a)
DP ⊥ AB खींचा।
प्रश्न 11.
यदि P किसी त्रिभुज ABC की माध्यिका AD पर स्थित कोई बिन्दु है तो ar (ABP) ≠ ar (ACP) है।
हल:
माध्यिका किसी त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
ar (ΔABD) = ar (ΔACD) …(1)
PD त्रिभुज PBC की भी माध्यिका है।
ar (ΔBPD) = ar (ΔCPD) ..(2)
समी. (1) में से(RBSESolutions.com)समी (2) को घटाने पर
ar (ΔABD) – ar (ΔBPD) = ar (ΔACD) – ar (ΔCPD)
ar (ΔABP)= ar (ΔACP)
अंतः दिया गया कथन पूर्णतयाः असत्य है।
प्रश्न 12.
यदि दिए गए चित्र में PQRS और EFRS दो समान्तर चतुर्भुज हैं, तो ar (MFR) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS) है।
हल:
समान्तर चतुर्भुज PQRS तथा EFRS एक ही आधार SR तथा एक ही समान्तर रेखाओं SR तथा PF के मध्य स्थित हैं।
ar (PQRS) = ar (EFRS) …(1)
त्रिभुज MFR तथा समान्तर चतुर्भुज EFRS एक ही(RBSESolutions.com)आधार RF तथा एक ही समान्तर रेखाओं RF तथा SE के मध्य स्थित है।
ar (MFR) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (EFRS) (उपप्रमेय 2) …(2)
समी. (1) तथा (2) से
ar (MFR) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS)
अत: दिया गया कथन सत्य है।
प्रश्न 13.
चित्र में, PSDA एक समान्तर चतुर्भुज है। PS पर बिन्दु Q और R इस प्रकार लिए। गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD)
हल:
PQ || AB तथा PA || QB (दिया है)
PABQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार BCRQ तथा CDSR समान्तर चतुर्भुज है।
AB = PQ, BC = QR तथा CD = RS
चूंकि PQ = QR = RS
अत: AB = BC = CD
PQ = CD …(1)
PA || QB || RC अब PA || SD (PSDA एक समान्तर चतुर्भुज है।)
AD || PS तथा PD एक(RBSESolutions.com)तिर्यक रेखा है।
∠SPD = ∠ADP (एकान्तर कोण)
∠QPE = ∠CDF …(2)
∆PEQ तथा ∆DFC में,
∠QPE = ∠CDF [समी (2) से।
∠QEP = ∠CFD (शीर्षाभिमुख, कोण)
PQ = CD (समी (1) से)
∆PEQ = ∆DFC [AAS नियम से]
ar (∆PQE) = ar (∆CFD)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 14.
X और Y त्रिभुजे LMN की भुजा LN पर स्थित दो। बिन्दु इस प्रकार हैं। LX = XY = YN है। X से होकर जाती हुई एक रेखा LM के समान्तर खींची गई जो MN को Z पर मिलती है।
सिद्ध कीजिए कि ar (∆LZY) = ar (MZYX) है।
हल:
दिया है : X और Y त्रिभुज LMN की भुजा LN पर स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि LX = XY = YN तथा LM || XZ है।
सिद्ध करना है : ar (∆LZY) = ar (MZYX)
उपपत्ति: ∆LXZ तथा ∆MXZ एक ही आधार ZX तथा एक ही समान्तर रेखाओं XZ तथा LM के बीच स्थित है।
ar (∆LXZ) = ar (MXZ) (प्रमेय 10.2 से) …(1)
ar (∆LXZ) + ar (∆XYZ) = ar (∆MXZ) + ar (∆XYZ) [ar (∆XYZ) दोनों तरफ जोड़ने पर)
ar (∆LZY) = ar (MZYX)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 15.
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 सेमी2 है। निम्नलिखित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) ar (ABEF)
(ii) ar (ABD)
(iii) ar (BEF)
हल:
(i) समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा समान्तर चतुर्भुज
ABEF एक ही आधार AB तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा CF के मध्य स्थित हैं।
ar (ABCD) = ar (ABEF) (प्रमेय 10.1 से)
⇒ 90 = ar (ABEF) [दिया है : ar (ABCD) = 90 सेमी2]
⇒ ar (ABEF) = 90 सेमी2
(ii) त्रिभुज ABD तथा समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज ABEF एक ही आधार AB तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा EF के मध्य स्थित हैं।
ar (∆ABD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABEF)
ar (∆ABD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 90 = 45 सेमी
(iii) BF समान्तर चतुर्भुज ABEF का विकर्ण है। तथा हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण इसे दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है।
ar (∆ABF) = ar (∆EBF) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABEF)
ar (∆BEF) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 90 = 45 वर्ग सेमी
प्रश्न 16.
∆ABC में, D भुजा AB का मध्य-बिन्दु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिन्दु है। यदि रेखाखण्ड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (चित्र से,) तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC) है।
हल:
दिया है : BD = AD, P भुजा BC पर स्थित कोई बिन्दु इस प्रकार है कि CQ || PD
सिद्ध करना है : ar (∆BPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ABC)
रचना : CD को मिलाया
उपपत्ति : चूंकि AB का(RBSESolutions.com)मध्य बिन्दु D है। अतः ∆ABC में CD एक माध्यिका है।
ar (∆BCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ABC) …(1)
∆PDQ तथा ∆PDC एक ही आधार PD पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं PD और QC के बीच स्थित है।
ar (∆PDQ) = ar (∆PDC) …(2)
समी. (1) से, ar (∆BCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ABC)
ar (∆BPD) + ar (∆PDC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ABC)
⇒ ar (∆BPD) + ar (∆PDQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ABC) [समी (2) से]
⇒ ar(∆BPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ABC)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 17.
ABCD एक वर्ग है। E और F क्रमशः BC और CD भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं। यदि R रेखाखण्ड EF का मध्य-बिन्दु है, [देखो चित्र] तो सिद्ध कीजिए कि ar (AER) = ar (AFR) है।
हल:
E तथा F क्रमशः वर्ग में की भुजाओं BC तथा CD के मध्य बिन्दु हैं।
BE = EC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC …(1)
तथा CF = DF = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CD
BC = CD (वर्ग की(RBSESolutions.com)समान भुजाएँ)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CD
BE = DF …(2)
∆AFD तथा ∆AEB में,
AD = AB (वर्ग की समाने भुजाएँ)
DF = BE [समी (2) से
∠D = ∠B (प्रत्येक 90° है)
∆AFD = ∆AEB (SAS नियम से)
AF = AE (CPCT) …(3)
तथा ∠AFD = ∠AEB (CPCT) …(4)
∆CEF में,
CE = CF [∵ BC = CD ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CD]
∠3 = ∠4 …..(5)
∠1 + ∠AEF + ∠3 = 180°
तथा ∠2 + ∠AFE + ∠4 = 180° …(7)
समी. (6) तथा (7) से
∠1 + ∠AEF + ∠3 = ∠2 + ∠AFE + ∠4
⇒ ∠1 + ∠AEF + ∠4 = ∠1 + ∠AFE + ∠4 [समी (4) तथा (5) का प्रयोग करने पर]
⇒ ∠AEF = ∠AFE
⇒ ∠AER = ∠AFR …(8)
∆AER तथा ∆AFR में
AE = AF (समी (3) से
∠AER = ∠AFF (समी (8) से]
ER = FR [R, EF का मध्य बिन्दु है।]
∆AER = ∆AFR (SAS नियम से)
ar (∆AER) = ar (∆AFR)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 18.
O एक समान्तरे चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई बिन्दु है। [ देखें दिए गए चित्र में] सिद्ध कीजिए कि ar (PSO) = ar (PQO) है।
हल:
QS को मिलाया, जो विकर्ण PR को बिन्दु T पर काटता है। चूंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
अतः ST = TQ
⇒ T, SQ का मध्य बिन्दु है। चूँकि हम जानते है कि एक त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले भागों में विभाजित करती है।
PT, ∆SPQ की माध्यिका है।
ar (∆SPT) = ar (∆QPT) …(1)
OT, ∆OSQ की माध्यिका है।
ar (SOT) = ar (OQT)
समी. (1) तथा (2) के संगत(RBSESolutions.com)पक्षों को जोड़ने पर।
ar (∆SPT) + ar (∆SOT) = ar (∆QPT) + ar (∆OQT)
⇒ ar (∆PSO) = ar (∆PQO)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 19.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें BC को E तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि CE = BC है। [चित्र देखे] AE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ar (DFB) = 3 सेमी है, तो समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
BD तथा BF को । मिलाया। ∆AEB में, C, BE का मध्य बिन्दु है। तथा CF || AB (∵ CD || AB)
⇒ F, DC का मध्य(RBSESolutions.com)बिन्दु हैं।
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, BD इसका विकर्ण है।
ar (∆CBD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD)
⇒ ar (∆BCD) = 2ar (∆CBD) …(1)
त्रिभुज की माध्यिका, त्रिभुज को समान क्षेत्रफलों वाले दो भागों में विभाजित करती है।
BF, ∆CBD की माध्यिका है।
ar (∆DFB) = ar (∆CBF) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆CBD)
⇒ 3 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆CBD)
⇒ ar (∆CBD) = 6 सेमी2
समी. (2) से ar (∆CBD) का मान, समी. (1) में रखने पर, ar (ABCD) = 2 x 6 = 12 सेमी
प्रश्न 20.
किसी समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर कोई बिन्दु E लिया जाता है। AE और DC को बढ़ाया जाता है जिससे वे F पर मिलती है। यदि C, DF का मध्य बिन्दु है, तो सिद्ध(RBSESolutions.com)कीजिए कि ar (ADF) = ar (ABFC)
हल:
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर बिन्दु E, इस प्रकार स्थित है कि AE तथा DC को जब बढ़ाया जाता है तो वे F पर मिलते हैं ।
सिद्ध करना है : ar (∆ADF) = ar (∆BFC)
रचना : AC तथा BF को मिलाया।
उपपत्ति : AB = CD [सिमान्तर चतुर्भज की सम्मुख भुजाएँ]
CF = CD (C, DF का मध्य बिन्दु है)
AB = CF तथा AB || DF
AB || CF
अब AB = CF तथा AB || CF
ABFC एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
∆ACB तथा ∆ACF एक ही(RBSESolutions.com)आधार AC तथा एक ही समान्तर रेखाओं AC और BF के मध्य स्थित है।
ar (∆ACB) = ar (∆ACF)
⇒ ar (∆ACB) + ar (∆ACD) = ar (∆ACF) + ar (∆ACD) [दोनों पक्षों में ar (ACD) जोड़ने पर]
⇒ ar (ABCD) = ar (ADF)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 21.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो AD को P और BC से Q पर मिलती है। दर्शाइए कि PQ इस समान्तर चतुर्भुज ABCD को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।
हल:
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
O से होकर एक A रेखा खींची(RBSESolutions.com)जाती है जो AD को P तथा BC से Q पर मिलती है।
सिद्ध करना है : ar (ABQP) = ar (CQPD)
उपपत्तिः समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण इसको दो समान क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
ar (∆ABC) = ar (∆ACD)
ar (चतुर्भुज ABQO) + ar (AOCQ) = ar (चतुर्भुज CDPO) + ar (∆AOP) …(1)
∆AOP तथा ∆COQ में
∠OAP = ∠OCQ (एकान्तर कोण AD || BC)
⇒ AO = OC (O, AC को मध्य बिन्दु है)
⇒ ∠AOP = ∠COQ (शीर्षाभिमुख(RBSESolutions.com)कोण)
⇒ ∆AOP = ∆COQ (ASA नियम से)
⇒ ar(∆AOP) = ar (∆COQ) …(2)
समी. (1) तथा (2) से,
ar (चतुर्भुज ABQO) + ar (∆AOP) = ar (चतुर्भुज CDPO) + ar (∆COQ)
⇒ ar(चतुर्भुज ABQP) = ar ( चतुर्भुज CDPQ)
⇒ ar (ABQP) = ar (CQPD)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 22.
एक त्रिभुज ABCD की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि AGBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर है।
हल:
EF को मिलाया। ∆ABC में E और F भुजाओं AC तथा AB के मध्य बिन्दु हैं।
EF || BC
∆BEF तथा ∆CEF एक ही आधार EF तथा एक ही समान्तर रेखाओं FE तथा BC के मध्य स्थित है।
ar (∆BEF) = ar (∆CEF)
ar (∆BEF) – ar (∆FGE) = ar(∆CEF) – ar (∆FGE)
ar (∆BFG) = ar (∆CGE) …(1)
हम जानते हैं कि त्रिभुज की माध्यिका(RBSESolutions.com)त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। चूंकि BE, ∆ABC की माध्यिका है।
अतः ar (∆BEC) = ar (∆ABE)
⇒ ar (∆GBC) + ar (∆CGE) = ar (AFGE) + ar (∆BFG)
⇒ ar (∆GBC) + ar (∆CGE) = ar (AFGE) + ar(∆CGE) (समी (1) से)
⇒ ar (∆GBC) = ar (AFGE)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 23.
दिए गए चित्र में, CD || AE और CY || BA है। सिद्ध कीजिए कि ar (CBX) = ar (AXY) है।
हल:
त्रिभुज CBY तथा त्रिभुज CAY एक ही आधारे CY पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं CY तथा AB के मध्य स्थित है।
ar (∆CBY) = ar (∆CAY)
⇒ ar (∆CBY) – ar(CXY) = ar (∆CAY) – ar (∆CXY)
⇒ ar (∆CBX) = ar (∆AXY)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 24.
ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 सेमी और AB = 50 सेमी है। यदि X और Y क्रमश: AD और BC के मध्य(RBSESolutions.com)बिन्दु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = \(\frac { 7 }{ 9 }\) ar (XYBA) है।
हल:
DY को मिलाया तथा इसे आगे बढ़ाया जो AB को आगे बढ़ाने पर O पर मिलती है।
∆DCY तथा ∆OBY में,
∠DCY = ∠OBY (एकान्तर कोण)
CY = BY (Y, BC का मध्य बिन्दु है)
∠CYD = ∠BYO (शीर्षाभिमुख कोण)
∆DCY = ∆OBY (ASA नियम से)
CD = OB (CPCT) …(1)
तथा DY = OY
Y, OD का मध्य बिन्दु है।
∆AOD में, Y, OD का मध्य बिन्दु है तथा X, AD का मध्य बिन्दु है।
XY || AO तथा XY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AO
⇒ XY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (AB + BO)
⇒ XY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (AB + CD) [समी. (1) से BO = CD]
⇒ XY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (50 + 30) = 40 सेमी
XY || AO
⇒ XY || AB
तथा AB || CD
⇒ AB || XY || CD
ABYX तथा DCYX समलम्ब चतुर्भुज है। चूँकि X तथा Y भुजाओं AD तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
अत: समलम्ब चतुर्भुज ABYX तथा DCYX की ऊँचाइयाँ समान होगी। माना कि यह h सेमी है।
प्रश्न 25.
त्रिभुज ABC में यदि L. और M क्रमश: AB और AC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित बिन्दु हैं कि LM || BC है। सिद्ध कीजिए कि ar (LOB) = ar (MOC)
हल:
दिया है : त्रिभुज ABC में L तथा M क्रमश: AB और AC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित हैं कि LM || BC
सिद्ध करमा है : ar (LOB) = ar (MOC)
रचना : LC को मिलाया तथा BM को(RBSESolutions.com)मिलाया। माना कि यह बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उपपत्ति : ∆LCB तथा AMBC एक ही आधार BC पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं BC और LM के मध्य स्थित हैं।
ar (∆LCB) = ar (∆MBC)
⇒ ar (∆LCB) – ar (∆OBC) = ar (∆MBC) – ar (∆OBC)
⇒ ar (∆LOB) = ar (MOC)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 26.
दिए गए चित्र में, ABCDE एक पंचभुज है। AC के समान्तर खींची गई BP, बढ़ाई गई DC को P पर तथा AD के P समान्तर खींची गई EQ, बढ़ाई गई CD से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि
ar (ABCED) = ar (APQ)
हल:
BP || AC हैं। (दिया है)।
∆ABC तथा ∆APC एक ही आधार AC पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं AC और BP के मध्य स्थित हैं।
ar (∆ABC) = ar (∆APC) …(1)
AD || EQ (दिया है)
∆AED तथा ∆AQD एक ही(RBSESolutions.com)आधार AD पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं के मध्य स्थित हैं।
ar (∆AED) = ar (∆AQD) …(2)
समी. (1) तथा (2) को जोड़ने पर
ar (∆ABC) + ar (∆AED) = ar (∆APC) + ar (∆AQD)
⇒ ar (∆ABC) + ar (∆AED) + ar (∆ACD) = ar (∆APC) + ar(∆AQD) + ar (∆ACD) [दोनों पक्षों में ar (ACD) जोड़ने पर]
⇒ ar (ABCDE) = ar (APQ)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 27.
यदि एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँG पर मिलती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (AGB) = ar (AGC) = ar (BGC) = \(\frac { 1 }{ 3 }\) ar (ABC)
हल:
दिया है : एक ∆ABC, जिसमें माध्यिकाएँ AD, BE तथा CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : ar (AGB) = ar (AGC) = ar (BGC) = \(\frac { 1 }{ 3 }\) ar (ABC)
उपपत्ति : त्रिभुज की माध्यिका इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। ∆ABC में AD माध्यिका है।
ar (∆ABD) = ar (∆ACD) …….(1)
∆GBC में, GD माध्यिका है।
ar (∆GBD) = ar (∆GCD) …(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर।
ar (∆ABD) – ar(∆GBD) = ar (∆ACD) – ar (∆GCD)
⇒ ar (∆ABG) = ar (∆AGC) …(3)
इसी(RBSESolutions.com)प्रकार ar (∆ABG) = ar (∆BGC) …(4)
समी. (3) तथा (4) से।
ar (∆ABG) = ar(∆AGC) = ar (∆BGC)
⇒ ar (∆AGB) = ar (∆AGC) = ar (∆BGC)…(5)
⇒ ar (∆ABC)= ar (∆AGB) + ar (∆BGC) + ar (∆AGC)
⇒ ar (∆ABC) = ar (∆AGB) + ar (∆AGB) + ar (∆AGB) (समी (5) से)
⇒ ar (∆ABC) = 3ar (∆AGB)
⇒ ar (∆AGB) = \(\frac { 1 }{ 3 }\) ar (∆ABC)
अतः ar (AGB) = ar (AGC) = ar (BGC) = \(\frac { 1 }{ 3 }\) ar (ABC) इति सिद्धम्।
प्रश्न 28.
दिए गए चित्र में, X और Y क्रमश: AC और AB के मध्य-बिन्दु हैं, QP || BC और CYQ और BXP सरल रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ABP) = ar (ACQ) है।
हल:
चूँकि X और Y क्रमशः भुजाओं AC तथा AB के मध्य बिन्दु हैं।
XY || BC
XY || BC || PQ [∵ PQ || BC]
∆APX तथा ∆CBX में,
⇒ ∠AXP = ∠CXB (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ AX = CX (X, AC का मध्य बिन्दु है)
⇒ ∠PAX = ∠BCX (एकान्तर कोण, PQ || BC)
∆APX = ∆CBX (ASA नियम से)
ar (∆APX) = ar (∆CBX) …(1)
इसी प्रकार, ar (∆AQY) = ar (∆BCY) …(2)
परन्तु ∆BCY तथा ∆CBX एक ही आधार BC पर तथा एक(RBSESolutions.com)ही समान्तर रेखाओं BC तथा XY के मध्य स्थित है।
ar (∆BCY) = ar (∆CBX)
⇒ ar (∆BYC) = ar (∆CXB) …(3)
समी. (1), (2) तथा (3) से
ar (∆AYQ) = ar (∆AXP)
⇒ ar (∆AXP) = ar (∆AYQ) …(4)
∆YXB तथा ∆XYC एक ही आधार XY पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं XY तथा BC के बीच में स्थित है।
अत: ar (∆YXB) = ar (∆XYC)
ar (∆YXB) + ar (∆AXY) = ar (∆XYC) + ar (∆AXY)
⇒ ar (ABX) = ar (AYC) …(5)
समी. (4) तथा (5) को जोड़ने पर
ar (∆AXP) + ar (∆ABX) = ar (∆AYQ)+ ar (∆AYC)
⇒ ar (∆ABP) = ar (∆ACQ)
इति सिद्धम्।
प्रश्न 29.
चित्र में, ABCD और AEFD दो समान्तर चतुर्भुज हैं। सिद्ध कीजिए। कि ar (PEA) = ar (QFD) है। [संकेत : PD को मिलाइए]
हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
AB || CD ⇒ AP || QD
AEFD एक समान्तर चतुर्भज है।
AD || EF ⇒ AD || PQ
चतुर्भुज APQD में, AD || PQ तथा AP || QD
⇒ APQD एक समान्तर चतुर्भुज है।
AD = PQ ……(1)
AEFD एक समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज है।
AD = EF …..(2)
समी. (1) तथा (2) से, EF = PQ
⇒ EF – PF = PQ – PF
⇒ EP = FQ …(3)
AP || QD तथा QE एक तिर्यक रेखा है।
∠APE = ∠DQP (संगत कोण)
⇒ ∠APE = ∠DQF …(4)
∆EPA तथा ∆FQD में,
EP = FQ (समी (3) से]
∠APE = ∠DQF [समी (4) से]
AP = QD [समान्तर चतुर्भुज APQD की सम्मुख भुजाएँ]
∆EPA = ∆FQD (SAS नियम से)
⇒ ar (∆EPA) = ar (∆FQD)
⇒ ar (∆PEA) = ar (∆QFD)
इति सिद्धम्।
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